Considera los vectores u=(2,1,0), v=(1,0,−1) y w=(a,b,1).
a) Halla a y b sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w es ortogonal a u.b) Para a=1, calcula el valor o valores de b para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.
a) Halla a y b sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w es ortogonal a u.
Dado que el vector w es ortogonal a u, su producto escalar debe ser cero:
w⋅u=0
(a,b,1)⋅(2,1,0)=0
2a+b+0=0⟹2a+b=0(1)
Para que los tres vectores sean linealmente dependientes, el determinante de la matriz formada por sus componentes debe ser cero:
det(u,v,w)=21a10b0−11=0
2(0 \cdot 1 - (-1) \cdot b) - 1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot a) + 0(1 \cdot b - 0 \cdot a) = 0
2b - (1 + a) = 0
2b−1−a=0⟹−a+2b=1(2)
Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2):
{2a+b=0−a+2b=1
De la ecuación (1), despejamos b: b=−2a. Sustituimos en la ecuación (2):
-a + 2(-2a) = 1
−a−4a=1
−5a=1⟹a=−51
Ahora, sustituimos el valor de a en la expresión de b:
b=−2(−51)=52
Los valores son a=−51 y b=52.
b) Para a=1, calcula el valor o valores de b para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.
Para a=1, el vector w es (1,b,1). El volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores viene dado por el valor absoluto del producto mixto (determinante) de los tres vectores:
