T1: Interacción gravitatoria · Energía gravitatoria — FISICA PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2016

Energía gravitatoria

Problema

2016 · Ordinaria · Reserva

3A-b

El satélite español PAZ de observación de la Tierra, de $1400 \text{ kg}$ , se lanza con el propósito de situarlo en una órbita circular geoestacionaria.

b) Determine las energías cinética y potencial del satélite en órbita.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} ; M_T = 6 \cdot 10^{24} \text{ kg} ; R_T = 6370 \text{ km}$

Energía cinéticaEnergía potencial

Satélite PAZ en órbita geoestacionaria

b) Energías cinética y potencial del satélite en órbita geoestacionaria

Para una órbita geoestacionaria, el radio orbital es $r = 42300 \text{ km} = 4,23 \cdot 10^7 \text{ m}$ (resultado estándar obtenido igualando la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta para un período $T = 24 \text{ h}$ ).

Energía cinética

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:

\frac{GM_T m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies mv^2 = \frac{GM_T m}{r}

Por tanto, la energía cinética es:

E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_T m}{2r}

Sustituyendo los valores:

E_k = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 6 \cdot 10^{24} \times 1400}{2 \times 4{,}23 \cdot 10^7}

E_k = \frac{6{,}67 \cdot 6 \cdot 1400 \times 10^{-11+24}}{8{,}46 \cdot 10^7} = \frac{5{,}603 \cdot 10^{17}}{8{,}46 \cdot 10^7}

E_k \approx 6{,}62 \cdot 10^9 \text{ J}

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria del satélite a distancia $r$ del centro de la Tierra es:

E_p = -\frac{GM_T m}{r}

Sustituyendo valores:

E_p = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 6 \cdot 10^{24} \times 1400}{4{,}23 \cdot 10^7}

E_p = -\frac{5{,}603 \cdot 10^{17}}{4{,}23 \cdot 10^7}

E_p \approx -1{,}325 \cdot 10^{10} \text{ J}

Nótese que, tal como predice el teorema del virial para la gravitación, se verifica que $E_p = -2E_k$ , con lo que la energía mecánica total es $E = E_k + E_p = -E_k \approx -6{,}62 \cdot 10^9 \text{ J}$ .

Resultados

Energía cinética:

E_k \approx 6{,}62 \cdot 10^9 \text{ J}

Energía potencial:

E_p \approx -1{,}32 \cdot 10^{10} \text{ J}