AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Discusión de sistemas con parámetros
Problema
2021 · Ordinaria · Reserva
5
Examen

Considera el sistema de ecuaciones

{x+y+2z=03x−y−2z=0−x+2y+mz=0\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + mz = 0 \end{cases}
a) Calcula mm para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.b) Para m=2m = 2, ¿existe alguna solución tal que z=1z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.
Sistema homogéneoInfinitas solucionesRango de una matriz
a) Calcula mm para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.

Para que un sistema homogéneo tenga infinitas soluciones, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo. La matriz de coeficientes es:

A=(1123−1−2−12m)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & m \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de AA:

det⁡(A)=1((−1)(m)−(−2)(2))−1((3)(m)−(−2)(−1))+2((3)(2)−(−1)(−1))det⁡(A)=1(−m+4)−1(3m−2)+2(6−1)det⁡(A)=−m+4−3m+2+10det⁡(A)=−4m+16\det(A) = 1((-1)(m) - (-2)(2)) - 1((3)(m) - (-2)(-1)) + 2((3)(2) - (-1)(-1)) \\ \det(A) = 1(-m + 4) - 1(3m - 2) + 2(6 - 1) \\ \det(A) = -m + 4 - 3m + 2 + 10 \\ \det(A) = -4m + 16

Igualamos el determinante a cero para encontrar el valor de mm que da infinitas soluciones:

−4m+16=04m=16m=4-4m + 16 = 0 \\ 4m = 16 \\ m = 4

Para m=4m=4, el sistema tiene infinitas soluciones. Sustituimos m=4m=4 en el sistema y lo resolvemos:

{x+y+2z=03x−y−2z=0−x+2y+4z=0\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + 4z = 0 \end{cases}

Aplicamos el método de Gauss a la matriz ampliada:

(112∣03−1−2∣0−124∣0)→R2←R2−3R1R3←R3+R1(112∣00−4−8∣0036∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 3 & -1 & -2 & | & 0 \\ -1 & 2 & 4 & | & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 \atop R_3 \leftarrow R_3 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & -4 & -8 & | & 0 \\ 0 & 3 & 6 & | & 0 \end{pmatrix}
→R2←−1/4R2R3←1/3R3(112∣0012∣0012∣0)→R3←R3−R2(112∣0012∣0000∣0)\xrightarrow{R_2 \leftarrow -1/4 R_2 \atop R_3 \leftarrow 1/3 R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}

De la segunda ecuación, obtenemos:

y+2z=0  ⟹  y=−2zy + 2z = 0 \implies y = -2z

Sustituimos yy en la primera ecuación:

x+(−2z)+2z=0  ⟹  x=0x + (-2z) + 2z = 0 \implies x = 0

Las soluciones son de la forma (0,−2z,z)(0, -2z, z). Podemos expresar zz como un parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.

(x, y, z) = (0, -2\lambda, \lambda)
b) Para m=2m = 2, ¿existe alguna solución tal que z=1z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Para m=2m=2, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

det⁡(A)=−4(2)+16=−8+16=8\det(A) = -4(2) + 16 = -8 + 16 = 8

Dado que det⁡(A)=8≠0\det(A) = 8 \neq 0, el sistema para m=2m=2 es un sistema compatible determinado. Al ser un sistema homogéneo (todos los términos independientes son cero), la única solución posible es la solución trivial.

(x,y,z)=(0,0,0)(x, y, z) = (0, 0, 0)

Por lo tanto, no existe ninguna solución para m=2m=2 tal que z=1z=1, ya que la única solución posible es aquella en la que z=0z=0.