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T1: Matrices y determinantes
Operaciones y determinantes
Problema
2024 · Ordinaria · Reserva
5
Examen

Considera las matrices A=(1−10720001)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(2010101/900)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

a) Calcula los determinantes de las matrices ((AB)5)−1((AB)^5)^{-1} y 27AB627AB^6.b) Halla la matriz XX, si es posible, que verifica que AXB=9IAXB = 9I, donde II es la matriz identidad de orden 3.
DeterminantesEcuaciones matricialesPropiedades de determinantes

Calculamos primero los determinantes de las matrices AA y BB para utilizarlos en los cálculos de los apartados:

∣A∣=∣1−10720001∣=1⋅∣1−172∣=1⋅(2−(−7))=9|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 - (-7)) = 9
∣B∣=∣2010101/900∣=1⋅∣211/90∣=1⋅(0−19)=−19|B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1/9 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 0 - \frac{1}{9} \right) = -\frac{1}{9}
a) Calcula los determinantes de las matrices ((AB)5)−1((AB)^5)^{-1} y 27AB627AB^6.

Para el primer determinante, utilizamos las propiedades ∣M−1∣=1∣M∣|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}, ∣Mk∣=∣M∣k|M^k| = |M|^k y ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB| = |A| \cdot |B|:

∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣=9⋅(−19)=−1|AB| = |A| \cdot |B| = 9 \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = -1
∣((AB)5)−1∣=1∣(AB)5∣=1∣AB∣5=1(−1)5=−1|((AB)^5)^{-1}| = \frac{1}{|(AB)^5|} = \frac{1}{|AB|^5} = \frac{1}{(-1)^5} = -1

Para el segundo determinante, aplicamos la propiedad ∣k⋅M∣=kn⋅∣M∣|k \cdot M| = k^n \cdot |M|, donde n=3n=3 es el orden de la matriz, y ∣B6∣=∣B∣6|B^6| = |B|^6:

∣27AB6∣=273⋅∣A∣⋅∣B∣6=(33)3⋅32⋅(−132)6=39⋅32⋅1312=311⋅3−12=3−1=13|27AB^6| = 27^3 \cdot |A| \cdot |B|^6 = (3^3)^3 \cdot 3^2 \cdot \left( -\frac{1}{3^2} \right)^6 = 3^9 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^{12}} = 3^{11} \cdot 3^{-12} = 3^{-1} = \frac{1}{3}
b) Halla la matriz XX, si es posible, que verifica que AXB=9IAXB = 9I, donde II es la matriz identidad de orden 3.

Dado que ∣A∣=9≠0|A| = 9 \neq 0 y ∣B∣=−1/9≠0|B| = -1/9 \neq 0, ambas matrices son invertibles. Despejamos la matriz XX multiplicando por la izquierda por A−1A^{-1} y por la derecha por B−1B^{-1}:

AXB=9I  ⟹  X=A−1(9I)B−1=9A−1B−1AXB = 9I \implies X = A^{-1} (9I) B^{-1} = 9 A^{-1} B^{-1}

Calculamos A−1A^{-1} mediante la matriz de adjuntos transpuesta:

A−1=1∣A∣(Adj(A))t=19(2−70110009)t=19(210−710009)A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & -7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

Calculamos B−1B^{-1} de forma análoga:

B−1=1∣B∣(Adj(B))t=1−1/9(00−1/90−1/90−102)t=−9(00−10−1/90−1/902)=(00901010−18)B^{-1} = \frac{1}{|B|} (Adj(B))^t = \frac{1}{-1/9} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1/9 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}^t = -9 \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1/9 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos el producto X=9A−1B−1X = 9 A^{-1} B^{-1}:

X=9⋅[19(210−710009)]⋅(00901010−18)=(210−710009)(00901010−18)X = 9 \cdot \left[ \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}
X=(011801−6390−162)X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 18 \\ 0 & 1 & -63 \\ 9 & 0 & -162 \end{pmatrix}