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T5: Integrales
Cálculo de áreas
Problema
2023 · Ordinaria · Titular
3
Examen

Considera la función f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, definida por f(x)=x∣x−1∣f(x) = x|x - 1|. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa x=0x = 0.

Integral definidaÁrea entre curvasValor absoluto
Definición de la función

En primer lugar, expresamos la función f(x)=x∣x−1∣f(x) = x|x - 1| como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto:

f(x)={x(−(x−1))=−x2+xsi x<1x(x−1)=x2−xsi x≥1f(x) = \begin{cases} x(-(x - 1)) = -x^2 + x & \text{si } x < 1 \\ x(x - 1) = x^2 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}
Cálculo de la recta tangente en $x = 0$

Para hallar la ecuación de la recta tangente y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) en el punto de abscisa x0=0x_0 = 0:1. Calculamos la imagen de la función en el punto: f(0)=0∣0−1∣=0f(0) = 0|0 - 1| = 0.2. Calculamos la derivada en el entorno de x=0x = 0 (donde x<1x < 1): f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1. Por tanto, la pendiente es m=f′(0)=−2(0)+1=1m = f'(0) = -2(0) + 1 = 1.La ecuación de la recta tangente es y−0=1(x−0)y - 0 = 1(x - 0), es decir, y=xy = x.

Puntos de corte entre la función y la recta tangente

Igualamos la función y la recta tangente para encontrar los límites de integración:

x∣x−1∣=x  ⟹  x(∣x−1∣−1)=0x|x - 1| = x \implies x(|x - 1| - 1) = 0

De aquí obtenemos dos soluciones: x=0x = 0 y ∣x−1∣=1|x - 1| = 1. Resolviendo el valor absoluto:x−1=1  ⟹  x=2x - 1 = 1 \implies x = 2 y x−1=−1  ⟹  x=0x - 1 = -1 \implies x = 0. Los puntos de corte son x=0x = 0 y x=2x = 2.

Cálculo del área del recinto

El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la diferencia de las funciones en el intervalo [0,2][0, 2]. Debido a la definición a trozos de la función, dividimos la integral en el punto x=1x = 1:

A=∫01(x−(−x2+x)) dx+∫12(x−(x2−x)) dxA = \int_{0}^{1} (x - (-x^2 + x)) \, dx + \int_{1}^{2} (x - (x^2 - x)) \, dx

Simplificamos las expresiones de los integrandos:

A=∫01x2 dx+∫12(2x−x2) dxA = \int_{0}^{1} x^2 \, dx + \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx

Calculamos cada una de las integrales:

∫01x2 dx=[x33]01=13\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}
∫12(2x−x2) dx=[x2−x33]12=(4−83)−(1−13)=43−23=23\int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

Sumamos los resultados para obtener el área total:

A=13+23=1 u2A = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \text{ u}^2