AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T3: Geometría
Problemas métricos
Problema
2024 · Ordinaria · Reserva
7
Examen

Considera la recta r≡x+12=y−22=3−zr \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = 3 - z y el punto P(0,2,−4)P(0, 2, -4).

a) Calcula el punto de rr a menor distancia de PP.b) Halla los puntos de rr cuya distancia a PP sea igual a 50\sqrt{50}.
Distancia de punto a rectaPuntos en una rectaGeometría analítica
Resolución del ejercicio de geometría en el espacio

En primer lugar, reescribimos la ecuación de la recta rr para identificar su vector director y obtener sus ecuaciones paramétricas. La expresión 3−z3 - z debe escribirse como −(z−3)-(z - 3) para ajustarse a la forma continua estándar:

r≡x+12=y−22=z−3−1r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-1}

De aquí obtenemos el vector director v⃗r=(2,2,−1)\vec{v}_r = (2, 2, -1) y un punto genérico QQ de la recta dependiente del parámetro λ\lambda:

Q(-1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda, 3 - \lambda)
a) Calcula el punto de rr a menor distancia de PP.

El punto de la recta rr a menor distancia de P(0,2,−4)P(0, 2, -4) es la proyección ortogonal de PP sobre la recta. Para hallarlo, definimos el vector PQ⃗\vec{PQ} y exigimos que sea perpendicular al vector director de la recta v⃗r\vec{v}_r:

\vec{PQ} = Q - P = (-1 + 2\lambda - 0, 2 + 2\lambda - 2, 3 - \lambda - (-4)) = (-1 + 2\lambda, 2\lambda, 7 - \lambda)

Aplicamos la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar:

\vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (-1 + 2\lambda) \cdot 2 + (2\lambda) \cdot 2 + (7 - \lambda) \cdot (-1) = 0

Resolvemos la ecuación resultante:

−2+4λ+4λ−7+λ=0  ⟹  9λ−9=0  ⟹  λ=1-2 + 4\lambda + 4\lambda - 7 + \lambda = 0 \implies 9\lambda - 9 = 0 \implies \lambda = 1

Sustituyendo λ=1\lambda = 1 en las coordenadas de QQ, obtenemos el punto de mínima distancia:

Q=(−1+2(1),2+2(1),3−1)=(1,4,2)Q = (-1 + 2(1), 2 + 2(1), 3 - 1) = (1, 4, 2)
b) Halla los puntos de rr cuya distancia a PP sea igual a 50\sqrt{50}.

Buscamos los puntos XX de la recta tales que d(P,X)=50d(P, X) = \sqrt{50}. Utilizando el vector genérico PX⃗\vec{PX} (que tiene la misma forma que PQ⃗\vec{PQ} hallado anteriormente), planteamos que el cuadrado de su módulo sea 50:

(-1 + 2\lambda)^2 + (2\lambda)^2 + (7 - \lambda)^2 = 50

Desarrollamos las identidades notables y simplificamos:

(1−4λ+4λ2)+4λ2+(49−14λ+λ2)=50(1 - 4\lambda + 4\lambda^2) + 4\lambda^2 + (49 - 14\lambda + \lambda^2) = 50
9λ2−18λ+50=50  ⟹  9λ2−18λ=09\lambda^2 - 18\lambda + 50 = 50 \implies 9\lambda^2 - 18\lambda = 0

Factorizamos la ecuación para encontrar los valores de λ\lambda:

9λ(λ−2)=0  ⟹  λ1=0,λ2=29\lambda(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2

Para cada valor de λ\lambda, obtenemos un punto de la recta:Si λ1=0  ⟹  X1=(−1,2,3)\lambda_1 = 0 \implies X_1 = (-1, 2, 3) Si λ2=2  ⟹  X2=(−1+2(2),2+2(2),3−2)=(3,6,1)\lambda_2 = 2 \implies X_2 = (-1 + 2(2), 2 + 2(2), 3 - 2) = (3, 6, 1)