Para resolver la ecuación planteada, primero simplificamos la integral. Observamos que $e^{x-k}$ se puede escribir como $e^x \cdot e^{-k}$. Al ser $e^{-k}$ una constante respecto a la variable de integración $x$, podemos extraerla de la integral:

Calculamos la integral indefinida $\int (x - 2) e^x dx$ utilizando el método de integración por partes, donde definimos:

Aplicando la fórmula de integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

A continuación, evaluamos la integral definida entre los límites $1$ y $3$ aplicando la Regla de Barrow:

Sustituimos el valor obtenido de la integral en la ecuación original:

Utilizando las propiedades de las potencias para agrupar los términos con base $e$:

Dividiendo ambos miembros por $2$, obtenemos:

Puesto que cualquier número distinto de cero elevado a cero es igual a $1$ ($e^0 = 1$), igualamos el exponente a cero para hallar el valor de $k$: