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T3: Geometría
Métrica en el espacio
Problema
2020 · Extraordinaria · Reserva
4
Examen

Considera los puntos A(1,0,1)A(1, 0, 1), B(−1,0,2)B(-1, 0, 2) y O(0,0,0)O(0, 0, 0), y la recta r≡{x=−1−λy=λz=2r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}

a) Calcula la distancia del punto AA a la recta rr.b) Determina el área del triángulo de vértices AA, BB y OO.
Geometría analíticaDistancia punto-rectaÁrea de triángulo
a) Calcula la distancia del punto AA a la recta rr.

Los datos del punto AA y la recta rr son:

A(1,0,1)A(1, 0, 1)
r≡{x=−1−λy=λz=2r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}

De la ecuación paramétrica de la recta rr, obtenemos un punto PrP_r de la recta y su vector director vr⃗\vec{v_r}:

Pr(−1,0,2)P_r(-1, 0, 2)
vr⃗(−1,1,0)\vec{v_r}(-1, 1, 0)

Calculamos el vector PrA⃗\vec{P_r A}:

PrA⃗=A−Pr=(1−(−1),0−0,1−2)=(2,0,−1)\vec{P_r A} = A - P_r = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 2) = (2, 0, -1)

La fórmula para la distancia de un punto a una recta es:

d(A,r)=∣PrA⃗×vr⃗∣∣vr⃗∣d(A, r) = \frac{\left| \vec{P_r A} \times \vec{v_r} \right|}{\left| \vec{v_r} \right|}

Calculamos el producto vectorial PrA⃗×vr⃗\vec{P_r A} \times \vec{v_r}:

PrA⃗×vr⃗=∣ijk20−1−110∣=i(0−(−1))−j(0−1)+k(2−0)=(1,1,2)\vec{P_r A} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - (-1)) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(2 - 0) = (1, 1, 2)

Calculamos el módulo del producto vectorial:

∣PrA⃗×vr⃗∣=12+12+22=1+1+4=6\left| \vec{P_r A} \times \vec{v_r} \right| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}

Calculamos el módulo del vector director de la recta:

∣vr⃗∣=(−1)2+12+02=1+1+0=2\left| \vec{v_r} \right| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}

Finalmente, calculamos la distancia:

d(A,r)=62=62=3 ud(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} \text{ u}
b) Determina el área del triángulo de vértices AA, BB y OO.

Los vértices del triángulo son A(1,0,1)A(1, 0, 1), B(−1,0,2)B(-1, 0, 2) y O(0,0,0)O(0, 0, 0).El área del triángulo se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que formen dos de sus lados, con un origen común. Usaremos los vectores OA⃗\vec{OA} y OB⃗\vec{OB}.Calculamos los vectores OA⃗\vec{OA} y OB⃗\vec{OB}:

OA⃗=A−O=(1−0,0−0,1−0)=(1,0,1)\vec{OA} = A - O = (1 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1)
OB⃗=B−O=(−1−0,0−0,2−0)=(−1,0,2)\vec{OB} = B - O = (-1 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (-1, 0, 2)

Calculamos el producto vectorial OA⃗×OB⃗\vec{OA} \times \vec{OB}:

OA⃗×OB⃗=∣ijk101−102∣=i(0−0)−j(2−(−1))+k(0−0)=(0,−3,0)\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(2 - (-1)) + \mathbf{k}(0 - 0) = (0, -3, 0)

Calculamos el módulo del producto vectorial:

∣OA⃗×OB⃗∣=02+(−3)2+02=0+9+0=9=3\left| \vec{OA} \times \vec{OB} \right| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 9 + 0} = \sqrt{9} = 3

Finalmente, el área del triángulo es:

Aˊrea=12∣OA⃗×OB⃗∣=12⋅3=32 u2\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \vec{OA} \times \vec{OB} \right| = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \text{ u}^2