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T1: Matrices y determinantes
Ecuaciones matriciales
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
5
Examen
EJERCICIO 5

Considera la matriz A=(−1001)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

a) Halla todas las matrices XX que cumplen XA=−AXtXA = -AX^t y X2=IX^2 = I, donde II es la matriz identidad de orden 2.b) Halla todas las matrices YY que cumplen YA=AYYA = AY, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante −1-1.
MatricesEcuaciones matricialesDeterminantes
a) Halla todas las matrices XX que cumplen XA=−AXtXA = -AX^t y X2=IX^2 = I, donde II es la matriz identidad de orden 2.

Sea la matriz X=(xyzw)X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}. Su traspuesta es Xt=(xzyw)X^t = \begin{pmatrix} x & z \\ y & w \end{pmatrix}. Planteamos la primera condición XA=−AXtXA = -AX^t:

(xyzw)(−1001)=−(−1001)(xzyw)\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & z \\ y & w \end{pmatrix}
(−xy−zw)=−(−x−zyw)=(xz−y−w)\begin{pmatrix} -x & y \\ -z & w \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -x & -z \\ y & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & z \\ -y & -w \end{pmatrix}

Igualando los elementos de las matrices resultantes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:1) −x=x  ⟹  2x=0  ⟹  x=0-x = x \implies 2x = 0 \implies x = 0 2) y=zy = z 3) −z=−y  ⟹  z=y-z = -y \implies z = y 4) w=−w  ⟹  2w=0  ⟹  w=0w = -w \implies 2w = 0 \implies w = 0 Por tanto, la matriz XX debe tener la forma X=(0yy0)X = \begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix}. Ahora aplicamos la segunda condición X2=IX^2 = I:

(0yy0)(0yy0)=(y200y2)=(1001)\begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y^2 & 0 \\ 0 & y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

De aquí se deduce que y2=1y^2 = 1, lo que da dos posibles valores: y=1y = 1 o y=−1y = -1. Las matrices XX buscadas son:

X1=(0110),X2=(0−1−10)X_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad X_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
b) Halla todas las matrices YY que cumplen YA=AYYA = AY, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante −1-1.

Sea la matriz Y=(abcd)Y = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Planteamos la condición de conmutatividad YA=AYYA = AY:

(abcd)(−1001)=(−1001)(abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
(−ab−cd)=(−a−bcd)\begin{pmatrix} -a & b \\ -c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -b \\ c & d \end{pmatrix}

Igualando los elementos: 1) −a=−a-a = -a (siempre se cumple) 2) b=−b  ⟹  2b=0  ⟹  b=0b = -b \implies 2b = 0 \implies b = 0 3) −c=c  ⟹  2c=0  ⟹  c=0-c = c \implies 2c = 0 \implies c = 0 4) d=dd = d (siempre se cumple)La matriz es de la forma Y=(a00d)Y = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}. Aplicamos ahora que la traza es cero (a+d=0  ⟹  d=−aa + d = 0 \implies d = -a) y que el determinante es −1-1:

det⁡(Y)=∣a00−a∣=−a2=−1  ⟹  a2=1  ⟹  a=±1\det(Y) = \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{vmatrix} = -a^2 = -1 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1

Si a=1a = 1, entonces d=−1d = -1. Si a=−1a = -1, entonces d=1d = 1. Las matrices YY resultantes son:

Y1=(100−1),Y2=(−1001)Y_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad Y_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}