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T3: Geometría
Intersección y paralelismo
Problema
2024 · Ordinaria · Reserva
8
Examen

Sea π1\pi_1 el plano determinado por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(1,1,−3)B(1, 1, -3) y C(0,1,1)C(0, 1, 1), y sea π2≡x−y+z−1=0\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.

Ecuación de la rectaPlano determinado por tres puntosParalelismo
Determinación del vector normal al plano $\pi_1$

Para hallar el vector normal al plano π1\pi_1 que contiene los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(1,1,−3)B(1, 1, -3) y C(0,1,1)C(0, 1, 1), calculamos primero dos vectores directores del mismo a partir de dichos puntos:

AB⃗=(1−1,1−0,−3−0)=(0,1,−3)\vec{AB} = (1-1, 1-0, -3-0) = (0, 1, -3)
AC⃗=(0−1,1−0,1−0)=(−1,1,1)\vec{AC} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)

El vector normal n⃗1\vec{n}_1 se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}:

n⃗1=AB⃗×AC⃗=∣ijk01−3−111∣=(1−(−3))i−(0−3)j+(0−(−1))k=(4,3,1)\vec{n}_1 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - (-3))\mathbf{i} - (0 - 3)\mathbf{j} + (0 - (-1))\mathbf{k} = (4, 3, 1)
Determinación del vector director de la recta $r$

El plano π2≡x−y+z−1=0\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0 tiene como vector normal n⃗2=(1,−1,1)\vec{n}_2 = (1, -1, 1). Dado que la recta rr debe ser paralela a ambos planos, su vector director v⃗r\vec{v}_r tiene que ser perpendicular a los vectores normales n⃗1\vec{n}_1 y n⃗2\vec{n}_2. Por tanto, calculamos v⃗r\vec{v}_r mediante el producto vectorial de ambos:

v⃗r=n⃗1×n⃗2=∣ijk4311−11∣=(3−(−1))i−(4−1)j+(−4−3)k=(4,−3,−7)\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (3 - (-1))\mathbf{i} - (4 - 1)\mathbf{j} + (-4 - 3)\mathbf{k} = (4, -3, -7)
Ecuación de la recta $r$

La recta rr pasa por el origen O(0,0,0)O(0, 0, 0) y tiene como vector director v⃗r=(4,−3,−7)\vec{v}_r = (4, -3, -7). Utilizando estos datos, la ecuación de la recta en su forma continua es:

x4=y−3=z−7\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-7}