T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

B-b1

b1) Una bobina circular, de

20

vueltas y

0,1 \text{ m}

de radio, se encuentra situada en un campo magnético, de forma que el flujo es máximo. Si el módulo del campo magnético es

B(t) = 20 \cdot \text{sen} (4\pi t) \text{ (SI)}

, calcule: i) la fuerza electromotriz máxima en la bobina. ii) la fuerza electromotriz inducida, en el instante

t = 0,125 \text{ s}

Ley de Faraday-LenzFlujo magnéticoFuerza electromotriz

Resolución del problema de inducción en una bobina circular

Identificamos los datos del problema: el número de vueltas $N = 20$ y el radio $r = 0,1 \text{ m}$ . A partir del radio, calculamos el área de la superficie $S$ de una espira:

S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,1 \text{ m})^2 = 0,01\pi \text{ m}^2

El enunciado indica que el flujo es máximo, lo que implica que el campo magnético $\vec{B}$ es paralelo al vector superficie $\vec{S}$ , por lo tanto, el ángulo entre ellos es $0^\circ$ ( $\cos 0^\circ = 1$ ). La expresión del flujo magnético total $\Phi$ es:

\Phi(t) = N \cdot B(t) \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = 20 \cdot [20 \cdot \text{sen}(4\pi t)] \cdot 0,01\pi

\Phi(t) = 4\pi \cdot \text{sen}(4\pi t) \text{ Wb}

i) la fuerza electromotriz máxima en la bobina.

Para obtener la fuerza electromotriz inducida (\varepsilon), aplicamos la ley de Faraday-Lenz, que establece que la f.e.m. es la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt}

Derivamos la expresión del flujo obtenida anteriormente:

\varepsilon(t) = -\frac{d}{dt} [4\pi \cdot \text{sen}(4\pi t)] = -4\pi \cdot 4\pi \cdot \cos(4\pi t)

\varepsilon(t) = -16\pi^2 \cos(4\pi t) \text{ V}

La fuerza electromotriz máxima (\varepsilon_{max}) corresponde a la amplitud de la función armónica resultante:

\varepsilon_{max} = 16\pi^2 \approx 157,91 \text{ V}

ii) la fuerza electromotriz inducida, en el instante

t = 0,125 \text{ s}

Sustituimos el valor del tiempo $t = 0,125 \text{ s}$ en la ecuación general de la fuerza electromotriz inducida:

\varepsilon(0,125) = -16\pi^2 \cos(4\pi \cdot 0,125)

Calculamos el argumento del coseno en radianes: $4\pi \cdot 0,125 = 0,5\pi = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$ . Dado que $\cos(\pi/2) = 0$ :

\varepsilon = -16\pi^2 \cdot 0 = 0 \text{ V}