T5: Física moderna · Mecánica cuántica — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T5: Física moderna

Mecánica cuántica

Teoría

2024 · Ordinaria · Titular

D-a

a) Un mesón

\pi

tiene una masa

274

veces mayor que la de un electrón. Si ambas partículas tienen la misma longitud de onda de De Broglie, determine: i) la relación entre sus velocidades; ii) la relación entre sus energías cinéticas.

Hipótesis de De BroglieDualidad onda-corpúsculoEnergía cinética

La hipótesis de De Broglie postula que toda partícula de masa $m$ que se desplaza con una velocidad $v$ tiene asociada una longitud de onda $\lambda$ definida por la expresión:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Donde $h$ es la constante de Planck ( $6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ ) y $p$ es el momento lineal. Según el enunciado, tanto el mesón $\pi$ como el electrón tienen la misma longitud de onda ( $\lambda_\pi = \lambda_e$ ), lo que implica que sus momentos lineales son idénticos:

p_\pi = p_e \implies m_\pi \cdot v_\pi = m_e \cdot v_e

a) i) Relación entre sus velocidades:

Partiendo de la igualdad de los momentos lineales, despejamos la relación entre la velocidad del electrón ( $v_e$ ) y la del mesón ( $v_\pi$ ):

\frac{v_e}{v_\pi} = \frac{m_\pi}{m_e}

Sustituyendo la relación de masas dada, $m_\pi = 274 \cdot m_e$ :

\frac{v_e}{v_\pi} = \frac{274 \cdot m_e}{m_e} = 274

La velocidad del electrón es $274$ veces superior a la del mesón $\pi$ .

a) ii) Relación entre sus energías cinéticas:

La energía cinética ( $E_c$ ) se relaciona con el momento lineal ( $p$ ) mediante la fórmula:

E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{(m v)^2}{2 m} = \frac{p^2}{2 m}

Calculamos la relación entre la energía cinética del electrón ( $E_{c,e}$ ) y la del mesón ( $E_{c,\pi}$ ), teniendo en cuenta que $p_e = p_\pi$ :

\frac{E_{c,e}}{E_{c,\pi}} = \frac{\frac{p_e^2}{2 m_e}}{\frac{p_\pi^2}{2 m_\pi}} = \frac{m_\pi}{m_e}

Sustituyendo nuevamente el valor de la masa del mesón en términos de la masa del electrón:

\frac{E_{c,e}}{E_{c,\pi}} = \frac{274 \cdot m_e}{m_e} = 274

Por lo tanto, la energía cinética del electrón es $274$ veces mayor que la del mesón $\pi$ .