T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial de masas puntuales

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

A1-b

Dos masas puntuales de $1$ y $4 \text{ kg}$ están situadas en los puntos $A(-3,1)$ y $B(0,3) \text{ m}$ , respectivamente.

b) i) Realice un esquema y calcule la intensidad del campo gravitatorio en el punto

C(0,0) \text{ m}

.ii) Calcule el potencial gravitatorio en el punto

C

.iii) Calcule el trabajo necesario para llevar una tercera masa de

2 \text{ kg}

desde

C

hasta el punto

D(3,0) \text{ m}

. Justifique el signo del trabajo y razone si su valor depende de la trayectoria seguida.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$

intensidad de campopotencial gravitatoriotrabajo+1

b) i) Realice un esquema y calcule la intensidad del campo gravitatorio en el punto

C(0,0) \text{ m}

Para calcular la intensidad del campo gravitatorio en el punto $C$ , aplicamos el principio de superposición, sumando vectorialmente los campos creados por cada masa individualmente:

\vec{g}_C = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = -G \frac{m_1}{r_1^2} \hat{u}_{r1} - G \frac{m_2}{r_2^2} \hat{u}_{r2}

Calculamos el vector campo generado por $m_1$ situada en $A(-3,1)$ sobre el punto $C(0,0)$ . El vector que une la masa con el punto es $\vec{r}_{AC} = (0 - (-3))\vec{i} + (0 - 1)\vec{j} = (3\vec{i} - \vec{j}) \text{ m}$ , con un módulo $r_{AC} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \text{ m}$ :

\vec{g}_1 = -G \frac{m_1}{r_{AC}^3} \vec{r}_{AC} = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{1}{(\sqrt{10})^3} (3\vec{i} - \vec{j}) = (-6,33 \cdot 10^{-12} \vec{i} + 2,11 \cdot 10^{-12} \vec{j}) \text{ N/kg}

Calculamos el campo generado por $m_2$ situada en $B(0,3)$ sobre el punto $C(0,0)$ . El vector es $\vec{r}_{BC} = (0-0)\vec{i} + (0-3)\vec{j} = -3\vec{j} \text{ m}$ , con módulo $r_{BC} = 3 \text{ m}$ :

\vec{g}_2 = -G \frac{m_2}{r_{BC}^3} \vec{r}_{BC} = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{4}{3^3} (-3\vec{j}) = (2,96 \cdot 10^{-11} \vec{j}) \text{ N/kg}

Sumamos ambos vectores para obtener el campo total en $C$ :

\vec{g}_C = -6,33 \cdot 10^{-12} \vec{i} + (2,11 \cdot 10^{-12} + 29,6 \cdot 10^{-12}) \vec{j} = (-6,33 \cdot 10^{-12} \vec{i} + 3,17 \cdot 10^{-11} \vec{j}) \text{ N/kg}

b) ii) Calcule el potencial gravitatorio en el punto

C

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales debidos a cada masa:

V_C = -G \sum \frac{m_i}{r_i} = -G \left( \frac{m_1}{r_{AC}} + \frac{m_2}{r_{BC}} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{4}{3} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} (0,316 + 1,333) = -1,10 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}

b) iii) Calcule el trabajo necesario para llevar una tercera masa de

2 \text{ kg}

desde

C

hasta el punto

D(3,0) \text{ m}

. Justifique el signo del trabajo y razone si su valor depende de la trayectoria seguida.

Primero calculamos el potencial en el punto $D(3,0)$ . Las distancias desde las masas son $r_{AD} = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{37} \text{ m}$ y $r_{BD} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{18} \text{ m}$ :

V_D = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{1}{\sqrt{37}} + \frac{4}{\sqrt{18}} \right) \approx -7,39 \cdot 10^{-11} \text{ J/kg}

El trabajo necesario (realizado por una fuerza externa) es igual a la variación de la energía potencial de la masa $m_3 = 2 \text{ kg}$ :

W_{ext} = \Delta E_p = m_3 (V_D - V_C) = 2 \cdot (-7,39 \cdot 10^{-11} - (-1,10 \cdot 10^{-10})) = 7,22 \cdot 10^{-11} \text{ J}

El signo del trabajo es positivo, lo que indica que el agente externo debe aportar energía para separar la masa del sistema, ya que el potencial en $D$ es mayor (menos negativo) que en $C$ . Al ser la fuerza gravitatoria una fuerza conservativa, el trabajo realizado depende únicamente de los puntos inicial y final, siendo totalmente independiente de la trayectoria seguida.