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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2024 · Ordinaria · Reserva
B1-b
Examen
b) Una bobina formada por 300300 espiras circulares de radio 1 cm1 \text{ cm} está situada en el interior de un campo magnético de módulo B(t)=0,3−0,3t2B(t) = 0,3 - 0,3 t^2 (S.I.), cuya dirección forma un ángulo de 45∘45^\circ con el eje de la bobina. Determine: i) el flujo magnético para t=1 st = 1 \text{ s}; ii) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t=1 st = 1 \text{ s}.
Flujo magnéticoFuerza electromotriz

Para resolver el ejercicio, identificamos primero los datos proporcionados y los expresamos en unidades del Sistema Internacional:

N=300 espirasN = 300 \text{ espiras}
r=1 cm=0.01 m  ⟹  S=π⋅r2=10−4π m2r = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m} \implies S = \pi \cdot r^2 = 10^{-4}\pi \text{ m}^2
B(t)=0.3−0.3t2 TB(t) = 0.3 - 0.3t^2 \text{ T}
\alpha = 45^\circ \text{ (ángulo entre } \vec{B} \text{ y el eje de la bobina)}
b) i) Determine el flujo magnético para t=1 st = 1 \text{ s}.

El flujo magnético Φ\Phi a través de una bobina de NN espiras se calcula mediante el producto escalar del campo magnético y el vector superficie:

Φ(t)=N⋅B(t)⋅S⋅cos⁡α\Phi(t) = N \cdot B(t) \cdot S \cdot \cos \alpha

Calculamos el módulo del campo magnético en el instante t=1 st = 1 \text{ s}:

B(1)=0.3−0.3(1)2=0 TB(1) = 0.3 - 0.3(1)^2 = 0 \text{ T}

Al ser el campo magnético nulo en ese instante, el flujo magnético resultante es:

Φ(1)=300⋅0⋅(10−4π)⋅cos⁡45∘=0 Wb\Phi(1) = 300 \cdot 0 \cdot (10^{-4}\pi) \cdot \cos 45^\circ = 0 \text{ Wb}
b) ii) Determine la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t=1 st = 1 \text{ s}.

De acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz (f.e.m.) inducida es igual a la variación temporal negativa del flujo magnético:

ε=−dΦdt\varepsilon = - \frac{d\Phi}{dt}

Sustituyendo la expresión del flujo y derivando respecto al tiempo (considerando NN, SS y α\alpha constantes):

ε=−N⋅S⋅cos⁡α⋅dB(t)dt\varepsilon = - N \cdot S \cdot \cos \alpha \cdot \frac{dB(t)}{dt}

La derivada temporal del campo magnético es:

dB(t)dt=ddt(0.3−0.3t2)=−0.6t T/s\frac{dB(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(0.3 - 0.3t^2) = -0.6t \text{ T/s}

Sustituimos los valores para t=1 st = 1 \text{ s}:

ε(1)=−300⋅(10−4π m2)⋅cos⁡45∘⋅(−0.6⋅1 T/s)\varepsilon(1) = - 300 \cdot (10^{-4}\pi \text{ m}^2) \cdot \cos 45^\circ \cdot (-0.6 \cdot 1 \text{ T/s})
ε(1)=0.018⋅π⋅22≈0.040 V\varepsilon(1) = 0.018 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.040 \text{ V}