T2: Interacción electromagnética · Campo eléctrico y trabajo de fuerzas eléctricas

T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico y trabajo de fuerzas eléctricas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

B-b2

Una carga $q_1 = 2 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ está fija en el origen de coordenadas y otra carga $q_2 = -4 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ se encuentra fija en el punto $A(2,0) \text{ m}$ .

i) Determine y dibuje el campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto

B(4,0) \text{ m}

.ii) Calcule el trabajo que las fuerzas del campo realizan para trasladar una tercera carga

q_3 = 1 \cdot 10^{-9} \text{ C}

, desde

B

hasta un punto

C(0,4) \text{ m}

. Interprete el signo del trabajo.

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

Cargas puntualesCampo eléctricoTrabajo eléctrico

i) Determine y dibuje el campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto

B(4,0) \text{ m}

El campo eléctrico resultante en el punto $B$ es la suma vectorial de los campos creados por cada carga individualmente, según el principio de superposición:

\vec{E}_B = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = K \frac{q_1}{r_{1B}^2} \hat{u}_{1B} + K \frac{q_2}{r_{2B}^2} \hat{u}_{2B}

Calculamos las distancias y los vectores unitarios desde cada carga hasta el punto $B(4,0)$ . Para $q_1$ en $(0,0)$ , la distancia es $r_{1B} = 4 \text{ m}$ y el vector unitario es $\vec{i}$ . Para $q_2$ en $(2,0)$ , la distancia es $r_{2B} = 4 - 2 = 2 \text{ m}$ y el vector unitario es $\vec{i}$ .

\vec{E}_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-9}}{4^2} \vec{i} = \frac{18}{16} \vec{i} = 1.125 \vec{i} \text{ N/C}

\vec{E}_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{2^2} \vec{i} = -\frac{36}{4} \vec{i} = -9 \vec{i} \text{ N/C}

Sumando ambos vectores obtenemos el campo total en $B$ :

\vec{E}_B = (1.125 - 9) \vec{i} = -7.875 \vec{i} \text{ N/C}

ii) Calcule el trabajo que las fuerzas del campo realizan para trasladar una tercera carga

q_3 = 1 \cdot 10^{-9} \text{ C}

, desde

B

hasta un punto

C(0,4) \text{ m}

. Interprete el signo del trabajo.

El trabajo realizado por el campo eléctrico se calcula como la diferencia de energía potencial entre los puntos inicial y final, o mediante el potencial eléctrico $V$ :

W_{B \to C} = -\Delta U = q_3 (V_B - V_C)

Calculamos el potencial en $B(4,0)$ :

V_B = K \left( \frac{q_1}{r_{1B}} + \frac{q_2}{r_{2B}} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9}}{4} + \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{2} \right) = 9 (0.5 - 2) = -13.5 \text{ V}

Calculamos el potencial en $C(0,4)$ . La distancia de $q_1(0,0)$ a $C$ es $r_{1C} = 4 \text{ m}$ . La distancia de $q_2(2,0)$ a $C$ es:

r_{2C} = \sqrt{(0-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \text{ m}

V_C = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9}}{4} + \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}} \right) = 9 (0.5 - 0.894) = -3.55 \text{ V}

Sustituimos para hallar el trabajo:

W_{B \to C} = 1 \cdot 10^{-9} \text{ C} \cdot (-13.5 \text{ V} - (-3.55 \text{ V})) = -9.95 \cdot 10^{-9} \text{ J}

Interpretación del signo: El trabajo es negativo ( $W < 0$ ), lo que indica que las fuerzas del campo se oponen al movimiento. Al ser la carga $q_3$ positiva y desplazarse hacia un punto de mayor potencial ( $V_C > V_B$ ), la energía potencial del sistema aumenta, por lo que es necesario un aporte de trabajo externo para realizar el traslado.