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T6: Física nuclear
Energía de enlace
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
D-b2
Examen
b2) i) Determine razonadamente la energía de enlace del 88226Ra{}^{226}_{88}\text{Ra}. ii) Sabiendo que la energía de enlace por nucleón del 2860Ni{}^{60}_{28}\text{Ni} es aproximadamente 9 MeV/nucleoˊn9 \text{ MeV/nucleón}, justifique cuál de estos dos núcleos es más estable.

Datos: m(88226Ra)=226,025410 um({}^{226}_{88}\text{Ra}) = 226,025410 \text{ u}; mp=1,007276 um_p = 1,007276 \text{ u}; mn=1,008665 um_n = 1,008665 \text{ u}; 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Defecto de masaEstabilidad nuclearEnergía de enlace por nucleón
i) Para determinar la energía de enlace del núcleo de 88226Ra{}^{226}_{88}\text{Ra}, primero calculamos el defecto de masa (Δm\Delta m), que es la diferencia entre la masa de los nucleones aislados y la masa real del núcleo. El núcleo de radio tiene Z=88Z = 88 protones y N=A−Z=226−88=138N = A - Z = 226 - 88 = 138 neutrones.
Δm=Z⋅mp+(A−Z)⋅mn−m(88226Ra)\Delta m = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - m({}^{226}_{88}\text{Ra})
Δm=[88⋅1,007276+138⋅1,008665]−226,025410=1,810648 u\Delta m = [88 \cdot 1,007276 + 138 \cdot 1,008665] - 226,025410 = 1,810648 \text{ u}

Convertimos el defecto de masa a unidades del Sistema Internacional (kg) utilizando el factor de conversión proporcionado:

Δm=1,810648 u⋅1,66⋅10−27 kg/u=3,005676⋅10−27 kg\Delta m = 1,810648 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 3,005676 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Utilizando la ecuación de Einstein para la equivalencia entre masa y energía (Ee=Δm⋅c2E_e = \Delta m \cdot c^2), calculamos la energía de enlace:

Ee=3,005676⋅10−27 kg⋅(3⋅108 m⋅s−1)2=2,705108⋅10−10 JE_e = 3,005676 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 2,705108 \cdot 10^{-10} \text{ J}
ii) Para justificar qué núcleo es más estable, debemos comparar sus energías de enlace por nucleón (Eb/AE_{b/A}), ya que esta magnitud representa la energía necesaria para extraer un nucleón del núcleo. Calculamos el valor para el 88226Ra{}^{226}_{88}\text{Ra} en MeV/nucleón para poder compararlo con el dato del 2860Ni{}^{60}_{28}\text{Ni}.

Primero, transformamos la energía de enlace del radio de julios a MeV usando la carga elemental ee:

Ee(MeV)=2,705108⋅10−10 J1,6⋅10−13 J/MeV=1690,69 MeVE_e (\text{MeV}) = \frac{2,705108 \cdot 10^{-10} \text{ J}}{1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J/MeV}} = 1690,69 \text{ MeV}
Eb/A(226Ra)=1690,69 MeV226 nucleones≈7,48 MeV/nucleoˊnE_{b/A} ({}^{226}\text{Ra}) = \frac{1690,69 \text{ MeV}}{226 \text{ nucleones}} \approx 7,48 \text{ MeV/nucle\text{ó}n}

Dado que la energía de enlace por nucleón del 2860Ni{}^{60}_{28}\text{Ni} (9 MeV/nucleoˊn9 \text{ MeV/nucle\text{ó}n}) es mayor que la del 88226Ra{}^{226}_{88}\text{Ra} (7,48 MeV/nucleoˊn7,48 \text{ MeV/nucle\text{ó}n}), se concluye que el núcleo de 2860Ni{}^{60}_{28}\text{Ni} es más estable.