🔍
Escribe al menos 2 caracteres...
AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Satélites
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
A-b2
Examen

Un satélite solía orbitar a 1,6⋅104 km1,6 \cdot 10^{4} \text{ km} sobre la superficie de la Tierra. Calcule razonadamente: i) la energía potencial de un satélite de 1000 kg en esta órbita; ii) la velocidad que lleva el satélite en esa órbita; iii) la energía que tiene el satélite en dicha órbita. Datos: G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_{T} = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; RT=6370 kmR_{T} = 6370 \text{ km}

Energía potencialVelocidad orbitalEnergía mecánica

Para resolver el problema, primero identificamos la distancia del satélite al centro de la Tierra (radio de la órbita), sumando el radio terrestre y la altura sobre la superficie:

r=RT+h=6370 km+1,6⋅104 km=22370 km=2,237⋅107 mr = R_T + h = 6370 \text{ km} + 1,6 \cdot 10^{4} \text{ km} = 22370 \text{ km} = 2,237 \cdot 10^{7} \text{ m}
Tierramr\vec{F}_g

i) La energía potencial gravitatoria de una masa en un campo gravitatorio central es la energía que posee debido a su posición en dicho campo y viene dada por la expresión:

Ep=−GMTmrE_p = -G \frac{M_T m}{r}
Ep=−6,67⋅10−11N m2kg25,98⋅1024 kg⋅1000 kg2,237⋅107 m=−1,783⋅1010 JE_p = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N m}^2}{\text{kg}^2} \frac{5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot 1000 \text{ kg}}{2,237 \cdot 10^{7} \text{ m}} = \mathbf{-1,783 \cdot 10^{10} \text{ J}}

ii) Para que el satélite mantenga una órbita circular, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta:

Fg=Fc⇒GMTmr2=mv2rF_g = F_c \Rightarrow G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}
v=GMTrv = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}
v=6,67⋅10−11N m2kg2⋅5,98⋅1024 kg2,237⋅107 m=4222,6 m s−1v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{2,237 \cdot 10^{7} \text{ m}}} = \mathbf{4222,6 \text{ m s}^{-1}}

iii) La energía mecánica total de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial. En órbitas circulares, se cumple que la energía cinética es igual a la mitad del valor absoluto de la energía potencial:

Em=Ec+Ep=12mv2−GMTmr=12GMTmr−GMTmr=−12GMTmr=12EpE_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{M_T m}{r} = \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} - G \frac{M_T m}{r} = - \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} = \frac{1}{2} E_p
Em=12(−1,783⋅1010 J)=−8,915⋅109 JE_m = \frac{1}{2} (-1,783 \cdot 10^{10} \text{ J}) = \mathbf{-8,915 \cdot 10^{9} \text{ J}}