T1: Interacción gravitatoria

Expresiones de campo y potencial

Teoría

2023 · Ordinaria · Suplente

A2-a

a) i) Escriba las expresiones del campo y el potencial gravitatorio creados por una masa puntual e indique las unidades en el S.I. para cada una de las magnitudes que intervienen. ii) Explique la relación que existe entre los campos gravitatorios a una distancia

r

2r

masa puntualunidades SI

a) i) El campo gravitatorio

\vec{g}

creado por una masa puntual

M

en un punto situado a una distancia

r

es una magnitud vectorial que describe la fuerza gravitatoria por unidad de masa. Por otro lado, el potencial gravitatorio

V

es una magnitud escalar que representa la energía potencial gravitatoria por unidad de masa en dicho punto.

\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r

V = -G \frac{M}{r}

A continuación se detallan las magnitudes que intervienen y sus unidades en el Sistema Internacional (S.I.): $\bullet$ $\vec{g}$ : Intensidad del campo gravitatorio, expresada en $\text{N} \cdot \text{kg}^{-1}$ (o $\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$ ). $\bullet$ $V$ : Potencial gravitatorio, expresado en $\text{J} \cdot \text{kg}^{-1}$ . $\bullet$ $G$ : Constante de gravitación universal, cuyo valor es aproximadamente $6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ . $\bullet$ $M$ : Masa que genera el campo, expresada en $\text{kg}$ . $\bullet$ $r$ : Distancia desde la masa puntual al punto donde se evalúa el campo, expresada en $\text{m}$ . $\bullet$ $\vec{u}_r$ : Vector unitario en la dirección radial (adimensional).

a) ii) Para relacionar los módulos del campo gravitatorio a una distancia

r

y a una distancia

2r

, partimos de la expresión del módulo del campo, que sigue la ley de la inversa del cuadrado de la distancia:

g(r) = G \frac{M}{r^2}

Calculamos ahora el módulo del campo para una distancia $2r$ :

g(2r) = G \frac{M}{(2r)^2} = G \frac{M}{4r^2} = \frac{1}{4} \left( G \frac{M}{r^2} \right)

De la comparación entre ambas expresiones se deduce la siguiente relación:

g(2r) = \frac{1}{4} g(r)

Esto implica que, debido a la dependencia inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, al duplicar la separación respecto a la masa, la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte.