T2: Interacción electromagnética

Electrostática

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

B1-b

b) Dos cargas de

2

-3 \text{ mC}

se encuentran, respectivamente, en los puntos

A(0,0)

B(1,1) \text{ m}

. i) Represente y calcule el vector campo eléctrico en el punto

C(1,0) \text{ m}

. ii) Calcule el trabajo necesario para trasladar una carga de

1 \text{ mC}

desde el punto

C

al punto

D(0,1) \text{ m}

Datos: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$

Campo eléctricoPotencial eléctricoTrabajo eléctrico

Campo Eléctrico y Trabajo Electrostático

b) i) Represente y calcule el vector campo eléctrico en el punto

C(1,0) \text{ m}

Para calcular el campo eléctrico resultante en el punto $C$ , aplicamos el principio de superposición. El campo total será la suma vectorial de los campos creados por $q_1$ (situada en $A$ ) y $q_2$ (situada en $B$ ).

Calculamos primero el vector campo creado por la carga $q_1$ en el punto $C$ . La distancia es $r_1 = 1 \text{ m}$ en dirección del eje $x$ :

\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_1^3} \vec{r}_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-3}}{1^3} (1 \vec{i} + 0 \vec{j}) = 18 \cdot 10^6 \vec{i} \text{ N/C}

Calculamos el vector campo creado por la carga $q_2$ en el punto $C$ . El vector posición desde la carga hasta el punto es $\vec{r}_2 = \vec{r}_C - \vec{r}_B = (1-1) \vec{i} + (0-1) \vec{j} = -1 \vec{j}$ . La distancia es $r_2 = 1 \text{ m}$ :

\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_2^3} \vec{r}_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{-3 \cdot 10^{-3}}{1^3} (0 \vec{i} - 1 \vec{j}) = 27 \cdot 10^6 \vec{j} \text{ N/C}

El campo eléctrico total en el punto $C$ es la suma de ambos vectores:

\vec{E}_C = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (18 \cdot 10^6 \vec{i} + 27 \cdot 10^6 \vec{j}) \text{ N/C}

ii) Calcule el trabajo necesario para trasladar una carga de

1 \text{ mC}

desde el punto

C

al punto

D(0,1) \text{ m}

El trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar una carga $q'$ desde un punto $C$ hasta un punto $D$ se define como el producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y el final:

W_{C \to D} = q' (V_C - V_D)

Calculamos el potencial en el punto $C(1,0)$ debido a las dos cargas, donde las distancias son $r_{1C} = 1 \text{ m}$ y $r_{2C} = 1 \text{ m}$ :

V_C = K \left( \frac{q_1}{r_{1C}} + \frac{q_2}{r_{2C}} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-3}}{1} + \frac{-3 \cdot 10^{-3}}{1} \right) = -9 \cdot 10^6 \text{ V}

Calculamos el potencial en el punto $D(0,1)$ . Las distancias desde las cargas son $r_{1D} = 1 \text{ m}$ (desde el origen) y $r_{2D} = 1 \text{ m}$ (desde $(1,1)$ ):

V_D = K \left( \frac{q_1}{r_{1D}} + \frac{q_2}{r_{2D}} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-3}}{1} + \frac{-3 \cdot 10^{-3}}{1} \right) = -9 \cdot 10^6 \text{ V}

Finalmente, sustituimos los valores en la expresión del trabajo para la carga $q' = 10^{-3} \text{ C}$ :

W_{C \to D} = 10^{-3} [(-9 \cdot 10^6) - (-9 \cdot 10^6)] = 0 \text{ J}

El trabajo es nulo puesto que ambos puntos se encuentran al mismo potencial eléctrico (superficie equipotencial respecto al sistema de cargas).