T5: Física moderna · Hipótesis de De Broglie — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T5: Física moderna

Hipótesis de De Broglie

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

D2-b

Las partículas alfa empleadas en el experimento de Rutherford tenían una energía cinética de $8,2 \cdot 10^{-13} \text{ J}$ .

b) Calcule: i) la velocidad de las partículas alfa; ii) la longitud de onda de De Broglie de las partículas alfa; iii) la velocidad con la que tendría que moverse un protón para tener la misma longitud de onda.

Datos: $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; m({}^4\text{He}_2) = 6,65 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

partícula alfaprotónlongitud de onda

b) i) Calcule la velocidad de las partículas alfa.

Partiendo de la expresión de la energía cinética clásica, puesto que la energía proporcionada es mucho menor que la energía en reposo de la partícula, podemos despejar la velocidad $v$ :

E_c = \frac{1}{2} m v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2 E_c}{m}}

Sustituyendo los valores para la partícula alfa ( $^4\text{He}_2$ ):

v_{\alpha} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8,2 \cdot 10^{-13} \text{ J}}{6,65 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} = 1,57 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

b) ii) Calcule la longitud de onda de De Broglie de las partículas alfa.

Según la hipótesis de De Broglie, toda partícula en movimiento tiene asociada una longitud de onda que depende de su cantidad de movimiento $p$ :

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

Calculamos la longitud de onda asociada a la partícula alfa:

\lambda_{\alpha} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{6,65 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 1,57 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = 6,35 \cdot 10^{-15} \text{ m}

b) iii) Calcule la velocidad con la que tendría que moverse un protón para tener la misma longitud de onda.

Para que el protón tenga la misma longitud de onda $\lambda_p = \lambda_{\alpha}$ , despejamos su velocidad de la fórmula de De Broglie utilizando la masa del protón $m_p$ :

v_p = \frac{h}{m_p \lambda_{\alpha}}

v_p = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 6,35 \cdot 10^{-15} \text{ m}} = 6,25 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}