T3: Espacion afín y euclideo · Geometría en el espacio — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

T3: Espacion afín y euclideo

Geometría en el espacio

Problema

2025 · Ordinaria

Sean los puntos $O(0, 0, 0)$ , $A(0, 2, -2)$ , $B(1, 2, m)$ y $C(2, 3, 2)$ . a) Halla los valores de $m$ para que el tetraedro determinado por los puntos $O, A, B$ y $C$ tenga un volumen de 3 unidades cúbicas. b) Para $m = 0$ , calcula la distancia del punto $O$ al plano que pasa por los puntos $A, B$ y $C$ .

TetraedroVolumenDistancia punto-plano

a) Para calcular el volumen de un tetraedro con un vértice en el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y los otros tres puntos A, B y C, utilizamos la relación con el producto mixto de los vectores de posición:

V = \frac{1}{6} | [\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] |

Primero, determinamos los vectores de posición de los puntos A, B y C:

\vec{OA} = (0, 2, -2) \\ \vec{OB} = (1, 2, m) \\ \vec{OC} = (2, 3, 2)

El producto mixto se calcula mediante el determinante de la matriz formada por estos vectores:

[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & m \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0(4 - 3m) - 2(2 - 2m) + (-2)(3 - 4)

Desarrollamos la expresión resultante:

-2(2 - 2m) - 2(-1) = -4 + 4m + 2 = 4m - 2

Sustituimos el valor del producto mixto en la fórmula del volumen, sabiendo que el volumen debe ser 3 unidades cúbicas:

\frac{1}{6} | 4m - 2 | = 3 \implies | 4m - 2 | = 18

Esto nos genera dos posibles ecuaciones debido al valor absoluto:

1) \quad 4m - 2 = 18 \implies 4m = 20 \implies m = 5 \\ 2) \quad 4m - 2 = -18 \implies 4m = -16 \implies m = -4

Por lo tanto, los valores de m que cumplen la condición son:

\mathbf{m = 5, \quad m = -4}

b) Para m = 0, el punto B es B(1, 2, 0). Debemos calcular la distancia del origen O al plano que pasa por A, B y C. Primero hallamos los vectores directores del plano:

\vec{AB} = B - A = (1, 0, 2) \\ \vec{AC} = C - A = (2, 1, 4)

El vector normal al plano se obtiene mediante el producto vectorial de estos dos vectores:

\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 2) - \vec{j}(4 - 4) + \vec{k}(1 - 0) = (-2, 0, 1)

La ecuación del plano tiene la forma -2x + 0y + z + D = 0. Imponemos que pase por el punto A(0, 2, -2) para hallar D:

-2(0) + 0(2) + (-2) + D = 0 \implies D = 2

La ecuación del plano es:

\pi \equiv 2x - z - 2 = 0

Calculamos la distancia del origen O(0, 0, 0) al plano utilizando la fórmula de distancia de un punto a un plano:

d(O, \pi) = \frac{| 2(0) - (0) - 2 |}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

La distancia del punto O al plano es:

\mathbf{d(O, \pi) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \text{ unidades}}