T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2025

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

D-b2

b2) Los rayos cósmicos bombardean al

\ce{^{14}_{7}N}

en la atmósfera que, por reacción nuclear, producen el isótopo radiactivo

\ce{^{14}_{6}C}

. Este isótopo tiene un periodo de semidesintegración de

5730 \text{ años}

. Se mezcla uniformemente en la atmósfera y es captado por las plantas en su crecimiento. Después de que muera una planta, el C-14 decae en los años siguientes. ¿Cuál es la antigüedad de un pedazo de madera encontrado en un yacimiento arqueológico que tiene el

9\%

del contenido original de C-14?

Desintegración radiactivaDatación C-14Periodo de semidesintegración

Datación por Carbono-14

El proceso de desintegración radiactiva de los núcleos de $\ce{^{14}_{6}C}$ sigue una ley exponencial decreciente en función del tiempo, definida por la siguiente expresión:

N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Donde $N(t)$ representa el número de núcleos radiactivos finales, $N_0$ el número de núcleos iniciales, $t$ el tiempo transcurrido y $\lambda$ la constante de desintegración radiactiva. La constante $\lambda$ se relaciona con el periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) mediante la relación:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Calculamos la constante de desintegración para el $\ce{^{14}_{6}C}$ utilizando el periodo proporcionado de $5730 \text{ años}$ :

\lambda = \frac{\ln 2}{5730 \text{ años}} \approx 1,2097 \cdot 10^{-4} \text{ años}^{-1}

El problema indica que la madera conserva el $9\%$ de su contenido original de carbono-14. Por lo tanto, la relación entre los núcleos finales e iniciales es:

\frac{N(t)}{N_0} = 0,09

Sustituimos esta proporción en la ley de desintegración y aplicamos logaritmos naturales para despejar la antigüedad ( $t$ ):

0,09 = e^{-\lambda t} \implies \ln(0,09) = -\lambda t

t = \frac{\ln(0,09)}{-\lambda}

Introduciendo el valor de la constante $\lambda$ obtenido anteriormente:

t = \frac{\ln(0,09)}{-1,2097 \cdot 10^{-4} \text{ años}^{-1}}

t \approx 19905,7 \text{ años}

La antigüedad del pedazo de madera encontrado en el yacimiento arqueológico es de aproximadamente $19906 \text{ años}$ .