T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

A-b2

b2) Un bloque de

3 \text{ kg}

se halla en reposo en la parte superior de un plano rugoso de

4 \text{ m}

de altura que está inclinado

37^\circ

respecto a la horizontal. Al liberar el bloque, desliza por el plano y llega al final con una velocidad de

5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. Determine mediante razonamientos energéticos: i) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque. ii) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.

Datos: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Plano inclinadoFuerzas de rozamientoTeorema del trabajo y la energía+1

i) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque.

Las fuerzas que actúan sobre el bloque durante su descenso son el peso ( $P$ ), la fuerza normal ( $N$ ) y la fuerza de rozamiento ( $f_r$ ). Analizamos el trabajo realizado por cada una de ellas basándonos en principios energéticos.El trabajo realizado por el peso ( $W_P$ ) se puede calcular a partir de la variación de la energía potencial gravitatoria, ya que es una fuerza conservativa:

W_P = -ΔE_p = -(m \cdot g \cdot h_f - m \cdot g \cdot h_i) = m \cdot g \cdot h

W_P = 3 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 4 \text{ m} = 117,6 \text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza normal ( $W_N$ ) es cero, dado que esta fuerza es perpendicular al desplazamiento en todo momento:

W_N = N \cdot d \cdot \cos(90^\circ) = 0 \text{ J}

Para determinar el trabajo de la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ), utilizamos el teorema del trabajo y la energía cinética (teorema de las fuerzas vivas), que establece que el trabajo total es igual a la variación de energía cinética:

W_{total} = \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_0^2

W_{total} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ kg} \cdot (5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 - 0 = 37,5 \text{ J}

Sabiendo que el trabajo total es la suma de los trabajos de todas las fuerzas individuales:

W_{total} = W_P + W_N + W_{fr} \implies 37,5 \text{ J} = 117,6 \text{ J} + 0 + W_{fr}

W_{fr} = 37,5 \text{ J} - 117,6 \text{ J} = -80,1 \text{ J}

ii) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.

El trabajo de la fuerza de rozamiento se define como el producto de la fuerza por el desplazamiento y el coseno del ángulo que forman ( $180^\circ$ ):

W_{fr} = f_r \cdot d \cdot \cos(180^\circ) = -f_r \cdot d

Donde $f_r = \mu \cdot N$ . En un plano inclinado, la fuerza normal es igual a la componente perpendicular del peso $N = m \cdot g \cdot \cos(37^\circ)$ . La distancia recorrida $d$ se relaciona con la altura $h$ mediante la relación trigonométrica $d = h / \sin(37^\circ)$ :

W_{fr} = -\mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos(37^\circ)) \cdot \frac{h}{\sin(37^\circ)} = -\mu \cdot m \cdot g \cdot \frac{h}{\tan(37^\circ)}

Sustituyendo los valores conocidos para despejar el coeficiente de rozamiento $\mu$ :

-80,1 \text{ J} = -\mu \cdot 3 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot \frac{4 \text{ m}}{\tan(37^\circ)}

80,1 = \mu \cdot 29,4 \cdot 5,308 \implies \mu = \frac{80,1}{156,05}

\mu \approx 0,513