T1: Interacción gravitatoria

Intensidad de campo gravitatorio

Teoría

2025 · Ordinaria · Suplente

A-a

Una masa puntual está situada en un punto $A(0,d)$ y otra masa en el punto $B(0,-4d)$ . Deduzca razonadamente la relación entre los valores de las masas para que el campo gravitatorio se anule en el origen.

Campo gravitatorioPrincipio de superposición

Determinación de la relación de masas para campo nulo

Para que el campo gravitatorio resultante en el origen $O(0,0)$ sea nulo, la suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas puntuales debe ser igual al vector nulo. Aplicamos el principio de superposición:

\vec{g}_T = \vec{g}_A + \vec{g}_B = \vec{0}

La intensidad del campo gravitatorio creado por una masa puntual $m$ en un punto del espacio viene dada por la expresión:

\vec{g} = -G \frac{m}{r^2} \vec{u}_r

Donde $\vec{u}_r$ es el vector unitario que apunta desde la masa hacia el punto de estudio. En el origen de coordenadas:

a) Campo creado por la masa

m_A

situada en

A(0,d)

: La distancia al origen es

d

. El campo apunta hacia la masa (sentido positivo del eje

y

\vec{g}_A = G \frac{m_A}{d^2} \vec{j}

b) Campo creado por la masa

m_B

situada en

B(0,-4d)

: La distancia al origen es

|-4d| = 4d

. El campo apunta hacia la masa (sentido negativo del eje

y

\vec{g}_B = -G \frac{m_B}{(4d)^2} \vec{j} = -G \frac{m_B}{16d^2} \vec{j}

Sustituimos ambos vectores en la condición de equilibrio en el origen:

G \frac{m_A}{d^2} \vec{j} - G \frac{m_B}{16d^2} \vec{j} = \vec{0}

Igualamos los módulos de ambas expresiones para que la suma sea nula:

G \frac{m_A}{d^2} = G \frac{m_B}{16d^2}

Cancelamos la constante de gravitación universal $G$ y el factor de distancia $d^2$ en ambos miembros de la ecuación:

m_A = \frac{m_B}{16}

Despejando, obtenemos la relación final entre las masas:

m_B = 16 m_A