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T6: Física nuclear
Energía de enlace
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
D-b1
Examen
b1) i) Determine razonadamente la energía de enlace del isótopo X23X2223He\ce{^3_2He}. ii) Sabiendo que la energía de enlace por nucleón del X24X2224He\ce{^4_2He} es de 6,83 MeV/nucleoˊn6,83 \text{ MeV/nucleón}, razone si es más o menos estable que el X23X2223He\ce{^3_2He}.

Datos: m(X23X2223He)=3,016029 um(\ce{^3_2He}) = 3,016029 \text{ u}; mp=1,007276 um_p = 1,007276 \text{ u}; mn=1,008665 um_n = 1,008665 \text{ u}; 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Defecto de masaEstabilidad nuclearHelio
i) Para determinar la energía de enlace del isótopo X23X2223He\ce{^3_2He}, primero debemos calcular el defecto de masa (Δm\Delta m), que es la diferencia entre la suma de las masas de los nucleones constituyentes (protones y neutrones) por separado y la masa del núcleo formado. El helio-3 tiene Z=2Z = 2 protones y N=A−Z=3−2=1N = A - Z = 3 - 2 = 1 neutrón.
Δm=[Z⋅mp+(A−Z)⋅mn]−Mnuˊcleo\Delta m = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n] - M_{\text{núcleo}}

Sustituyendo los valores proporcionados:

Δm=[2⋅1,007276 u+1⋅1,008665 u]−3,016029 u\Delta m = [2 \cdot 1,007276 \text{ u} + 1 \cdot 1,008665 \text{ u}] - 3,016029 \text{ u}
Δm=[2,014552+1,008665]−3,016029=3,023217−3,016029=0,007188 u\Delta m = [2,014552 + 1,008665] - 3,016029 = 3,023217 - 3,016029 = 0,007188 \text{ u}

Convertimos el defecto de masa a kilogramos (SI) utilizando la equivalencia dada 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}:

Δm=0,007188 u⋅1,66⋅10−27 kg/u=1,193208⋅10−29 kg\Delta m = 0,007188 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 1,193208 \cdot 10^{-29} \text{ kg}

La energía de enlace (EbE_b) se obtiene mediante la ecuación de equivalencia masa-energía de Einstein:

Eb=Δm⋅c2E_b = \Delta m \cdot c^2
Eb=1,193208⋅10−29 kg⋅(3⋅108 m⋅s−1)2=1,0738872⋅10−12 JE_b = 1,193208 \cdot 10^{-29} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 1,0738872 \cdot 10^{-12} \text{ J}

Para facilitar la comparación posterior, convertimos esta energía a MeV, sabiendo que 1 eV=1,6⋅10−19 J1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J} (por tanto, 1 MeV=1,6⋅10−13 J1 \text{ MeV} = 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J}):

Eb=1,0738872⋅10−12 J1,6⋅10−13 J/MeV=6,7118 MeVE_b = \frac{1,0738872 \cdot 10^{-12} \text{ J}}{1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J/MeV}} = 6,7118 \text{ MeV}
ii) La estabilidad de un núcleo no depende de su energía de enlace total, sino de la energía de enlace por nucleón (Eb/AE_b/A). Cuanto mayor sea este valor, más estable será el núcleo. Calculamos la energía de enlace por nucleón para el X23X2223He\ce{^3_2He}:
EbA=6,7118 MeV3 nucleones=2,2373 MeV/nucleoˊn\frac{E_b}{A} = \frac{6,7118 \text{ MeV}}{3 \text{ nucleones}} = 2,2373 \text{ MeV/nucleón}

Comparando los resultados:Para el X23X2223He\ce{^3_2He}, la energía por nucleón es 2,2373 MeV/nucleoˊn2,2373 \text{ MeV/nucleón}, mientras que para el X24X2224He\ce{^4_2He} es 6,83 MeV/nucleoˊn6,83 \text{ MeV/nucleón}. Como el valor de la energía de enlace por nucleón del X24X2224He\ce{^4_2He} es significativamente mayor, concluimos que el X24X2224He\ce{^4_2He} es mucho más estable que el X23X2223He\ce{^3_2He}.