T4: Óptica · Dispersión y refracción — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T4: Óptica

Dispersión y refracción

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

C2-b

b) Un haz de luz blanca incide, desde el aire, sobre la superficie de un vidrio con un ángulo de

30^{\circ}

con respecto a la normal. Sabiendo que las longitudes de onda en el aire de las componentes azul y roja son, respectivamente,

4,86 \cdot 10^{-7} \text{ m}

6,56 \cdot 10^{-7} \text{ m}

: i) realice un esquema y calcule el ángulo que forman entre sí los rayos refractados; ii) determine la frecuencia y la longitud de onda en el vidrio de la componente roja.

Datos: $n_{\text{aire}} = 1; c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; n_{\text{azul}} = 1,7; n_{\text{roja}} = 1,6$

ley de Snelllongitud de ondafrecuencia+1

i) realice un esquema y calcule el ángulo que forman entre sí los rayos refractados;

Para obtener los ángulos de refracción, aplicamos la ley de Snell. Al incidir luz blanca, cada componente cromática se refracta con un ángulo diferente debido a que el índice de refracción del vidrio depende de la longitud de onda (fenómeno de dispersión). La ley de Snell se expresa como:

n_1 \cdot \sin heta_1 = n_2 \cdot \sin heta_2

Considerando que el haz proviene del aire ( $n_1 = 1$ ) con un ángulo de incidencia $\theta_i = 30^\circ$ , calculamos primero el ángulo de refracción para la componente roja ( $n_{\text{roja}} = 1,6$ ):

1 \cdot \sin 30^\circ = 1,6 \cdot \sin \theta_{r, \text{roja}} \implies \sin \theta_{r, \text{roja}} = \frac{0,5}{1,6} = 0,3125

\theta_{r, \text{roja}} = \arcsin(0,3125) \approx 18,21^\circ

Realizamos el mismo cálculo para la componente azul ( $n_{\text{azul}} = 1,7$ ):

1 \cdot \sin 30^\circ = 1,7 \cdot \sin \theta_{r, \text{azul}} \implies \sin \theta_{r, \text{azul}} = \frac{0,5}{1,7} \approx 0,2941

\theta_{r, \text{azul}} = \arcsin(0,2941) \approx 17,10^\circ

El ángulo formado entre ambos rayos refractados es la diferencia entre sus ángulos de refracción:

\Delta \theta = \theta_{r, \text{roja}} - \theta_{r, \text{azul}} = 18,21^\circ - 17,10^\circ = 1,11^\circ

En el esquema, el rayo incidente se divide en la superficie; la componente azul se desvía más hacia la normal que la roja al tener un índice de refracción mayor.

ii) determine la frecuencia y la longitud de onda en el vidrio de la componente roja.

La frecuencia ( $f$ ) de una onda electromagnética es constante independientemente del medio de propagación. Se calcula a partir de la velocidad de la luz en el vacío ( $c$ ) y su longitud de onda en el aire (considerando $n_{\text{aire}} \approx 1$ ):

f_{\text{roja}} = \frac{c}{\lambda_{\text{aire, roja}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{6,56 \cdot 10^{-7} \text{ m}} \approx 4,57 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

La longitud de onda en el vidrio ( $\lambda_{\text{vidrio}}$ ) se reduce respecto a la del aire según el índice de refracción del material:

\lambda_{\text{vidrio, roja}} = \frac{\lambda_{\text{aire, roja}}}{n_{\text{roja}}} = \frac{6,56 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1,6} = 4,10 \cdot 10^{-7} \text{ m}