T1: Interacción gravitatoria

Órbitas satelitales

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

A-b2

Se quiere poner en órbita un satélite de $200 \text{ kg}$ para que dé dos vueltas a la Tierra cada día. Suponiendo que la órbita sea circular, calcule razonadamente:

i) el radio de la órbita a la que hay que colocar el satélite;ii) la velocidad orbital;iii) el módulo del momento angular del satélite.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ ; $1 \text{ día} = 24 \text{ h}$

Velocidad orbitalMomento angularLeyes de Kepler

i) Para que el satélite se encuentre en una órbita circular estable, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta. Partimos de la igualdad de sus módulos:

G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Sabiendo que la velocidad orbital en una trayectoria circular es $v = \frac{2\pi r}{T}$ , sustituimos en la expresión anterior para obtener la tercera ley de Kepler:

G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \implies r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}

Primero convertimos el periodo $T$ al Sistema Internacional. Si el satélite da dos vueltas al día, el periodo para una sola vuelta es de 12 horas:

T = 12 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 43200 \text{ s}

Calculamos el radio de la órbita $r$ :

r = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot (43200 \text{ s})^2}{4\pi^2}}

r \approx 2,66 \cdot 10^7 \text{ m}

ii) La velocidad orbital se puede obtener a partir de la relación entre la longitud de la circunferencia y el periodo orbital:

v = \frac{2\pi r}{T}

v = \frac{2\pi \cdot 2,66 \cdot 10^7 \text{ m}}{43200 \text{ s}} \approx 3869,06 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

iii) El módulo del momento angular

\vec{L}

de un satélite en órbita circular, respecto al centro de la Tierra, se define como el producto vectorial del vector posición y el vector cantidad de movimiento. Al ser perpendiculares en una órbita circular (

\sin 90^\circ = 1

), su módulo es:

L = m \cdot v \cdot r

Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente:

L = 200 \text{ kg} \cdot 3869,06 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot 2,66 \cdot 10^7 \text{ m}

L \approx 2,06 \cdot 10^{13} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}