T1: Interacción gravitatoria

Cinemática y dinámica orbital

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

A1-b

b) El satélite español Paz, que se lanzó en febrero de 2018, tiene una masa de

1400 \text{ kg}

y se mantiene en una órbita circular a una velocidad de

7,6 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}

. i) Determine razonadamente el radio de la órbita. ii) ¿Cuántas vueltas dará alrededor de la Tierra en

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día? iii) Calcule la diferencia de energía potencial del satélite en su órbita con respecto a la que tendría en la superficie terrestre.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$

Energía potencialSatélite

i) Para que el satélite mantenga una órbita circular, la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra debe actuar como la fuerza centrípeta necesaria para mantener dicho movimiento. Igualamos ambas expresiones para despejar el radio de la órbita

r

F_g = F_c \implies G \frac{M_T \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Despejando $r$ y sustituyendo los valores en el Sistema Internacional ( $v = 7,6 \text{ km/s} = 7600 \text{ m/s}$ ):

r = \frac{G \cdot M_T}{v^2} = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{(7600 \text{ m/s})^2} = 6,906 \cdot 10^6 \text{ m}

ii) Para calcular el número de vueltas en un día, primero determinamos el periodo orbital

T

, que es el tiempo que tarda en completar una vuelta (

2\pi r

T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi \cdot 6,906 \cdot 10^6 \text{ m}}{7600 \text{ m/s}} = 5709,3 \text{ s}

El número de vueltas $N$ en un día ( $t = 24 \cdot 3600 = 86400 \text{ s}$ ) es:

N = \frac{t}{T} = \frac{86400 \text{ s}}{5709,3 \text{ s/vuelta}} \approx 15,13 \text{ vueltas}

iii) La diferencia de energía potencial

\Delta E_p

se define como el valor de la energía potencial en la órbita menos el valor en la superficie terrestre (

R_T = 6370 \text{ km} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

\Delta E_p = E_{p, \text{órbita}} - E_{p, \text{superficie}} = -G \frac{M_T \cdot m}{r} - \left( -G \frac{M_T \cdot m}{R_T} \right)

\Delta E_p = G \cdot M_T \cdot m \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{r} \right)

Sustituyendo los valores numéricos:

\Delta E_p = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot 1400 \left( \frac{1}{6,37 \cdot 10^6} - \frac{1}{6,906 \cdot 10^6} \right) = 6,80 \cdot 10^9 \text{ J}