T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

B1-b

b) Una espira circular de

20 \text{ cm}

de radio está situada en el plano

XY

en una región en la que hay un campo magnético variable en el tiempo

B(t) = 3 t^2 - 2t

(S.I.) en sentido negativo del eje

OZ

. i) Obtenga la expresión del flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcule la fuerza electromotriz inducida para

t = 2 \text{ s}

. iii) Razone el sentido de la corriente inducida en la espira.

Flujo magnéticoFuerza electromotrizLey de Lenz

b) i) Para obtener la expresión del flujo magnético

\Phi

en función del tiempo, aplicamos la definición de flujo para una espira plana sumergida en un campo magnético uniforme en el espacio:

\Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{S} = \vec{B} \cdot \vec{S}

Consideramos el vector superficie $\vec{S}$ paralelo al eje $OZ$ , de modo que $\vec{S} = S \vec{k}$ . El área de la espira circular de radio $R = 0,2 \text{ m}$ es $S = \pi R^2 = \pi (0,2)^2 = 0,04\pi \text{ m}^2$ . Dado que el campo magnético es $\vec{B}(t) = -(3t^2 - 2t) \vec{k} \text{ T}$ , el flujo es:

\Phi(t) = [-(3t^2 - 2t) \vec{k}] \cdot [0,04\pi \vec{k}] = -0,04\pi (3t^2 - 2t) \text{ Wb}

\Phi(t) = (0,08\pi t - 0,12\pi t^2) \text{ Wb}

ii) La fuerza electromotriz (fem) inducida

\mathcal{E}

se determina mediante la ley de Faraday-Lenz, que establece que la fem es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}

Derivamos la expresión del flujo obtenida anteriormente:

\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt} (0,08\pi t - 0,12\pi t^2) = -(0,08\pi - 0,24\pi t) = (0,24\pi t - 0,08\pi) \text{ V}

Calculamos el valor para $t = 2 \text{ s}$ :

\mathcal{E}(2) = 0,24\pi (2) - 0,08\pi = 0,48\pi - 0,08\pi = 0,4\pi \text{ V} \approx 1,26 \text{ V}

iii) El sentido de la corriente inducida se determina por la ley de Lenz, la cual indica que la corriente se opone a la variación del flujo que la produce.

En $t = 2 \text{ s}$ , el módulo del campo magnético es $B = 3(2)^2 - 2(2) = 8 \text{ T}$ y su variación temporal es $\frac{dB}{dt} = 6t - 2$ . Evaluando en $t = 2 \text{ s}$ , tenemos $\frac{dB}{dt} = 10 \text{ T/s} > 0$ , lo que indica que el campo magnético en el sentido negativo del eje $OZ$ está aumentando. Como el flujo hacia abajo ( $-OZ$ ) aumenta, la corriente inducida generará un campo magnético propio hacia arriba ( $+OZ$ ) para compensar dicho aumento. Según la regla de la mano derecha, para producir un campo en sentido $+OZ$ , la corriente debe circular en sentido antihorario en el plano $XY$ .