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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
D-b2
Examen

La masa de un núcleo de plutonio-239 es 239,05 u239,05 \text{ u} y su periodo de semidesintegración es 24200 an˜os24200 \text{ años}. Determine:

i) la constante de desintegración.ii) la actividad de una muestra de 1 mg1 \text{ mg} de plutonio-239.iii) el tiempo necesario para que quede el 25%25\% de los núcleos de la muestra anterior.

Dato: NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}

Desintegración radiactivaActividadPeriodo de semidesintegración
Desintegración radiactiva del Plutonio-239
i) La constante de desintegración λ\lambda representa la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo y se relaciona con el periodo de semidesintegración T1/2T_{1/2} mediante la siguiente expresión:
λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Primero expresamos el periodo de semidesintegración en segundos (unidades del SI):

T1/2=24200 an˜os⋅365 dıˊas1 an˜o⋅24 h1 dıˊa⋅3600 s1 h=7,631⋅108 sT_{1/2} = 24200 \text{ años} \cdot \frac{365 \text{ días}}{1 \text{ año}} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 7,631 \cdot 10^8 \text{ s}

Calculamos el valor de λ\lambda:

λ=0,6937,631⋅108 s=9,08⋅10−10 s−1\lambda = \frac{0,693}{7,631 \cdot 10^8 \text{ s}} = 9,08 \cdot 10^{-10} \text{ s}^{-1}
ii) La actividad AA de la muestra se define como el producto de la constante de desintegración por el número de núcleos presentes (A=λ⋅NA = \lambda \cdot N). Calculamos el número de núcleos NN en 1 mg1 \text{ mg} de 239Pu^{239}\text{Pu} empleando la constante de Avogadro (NAN_A):
N=mM⋅NA=10−3 g239,05 g⋅mol−1⋅6,02⋅1023 nuˊcleos⋅mol−1N = \frac{m}{M} \cdot N_A = \frac{10^{-3} \text{ g}}{239,05 \text{ g} \cdot \text{mol}^{-1}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ núcleos} \cdot \text{mol}^{-1}
N=2,518⋅1018 nuˊcleosN = 2,518 \cdot 10^{18} \text{ núcleos}

Ahora calculamos la actividad inicial:

A=λ⋅N=(9,08⋅10−10 s−1)⋅(2,518⋅1018 nuˊcleos)=2,286⋅109 BqA = \lambda \cdot N = (9,08 \cdot 10^{-10} \text{ s}^{-1}) \cdot (2,518 \cdot 10^{18} \text{ núcleos}) = 2,286 \cdot 10^9 \text{ Bq}
iii) Para determinar el tiempo tt necesario para que quede el 25%25\% de los núcleos iniciales (N=0,25N0N = 0,25 N_0), utilizamos la ley de desintegración radiactiva:
N(t)=N0⋅e−λt  ⟹  N(t)N0=e−λtN(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \implies \frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}

Como el 25%25\% equivale a un cuarto de la muestra original (1/41/4), y sabemos que 1/4=(1/2)21/4 = (1/2)^2, el tiempo requerido corresponde exactamente a dos periodos de semidesintegración:

t=2⋅T1/2=2⋅24200 an˜os=48400 an˜ost = 2 \cdot T_{1/2} = 2 \cdot 24200 \text{ años} = 48400 \text{ años}

En unidades del Sistema Internacional (segundos):

t=48400 an˜os⋅3,1536⋅107 s1 an˜o=1,526⋅1012 st = 48400 \text{ años} \cdot \frac{3,1536 \cdot 10^7 \text{ s}}{1 \text{ año}} = 1,526 \cdot 10^{12} \text{ s}