T1: Matrices y determinantes · Operaciones matriciales y matriz inversa — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

T1: Matrices y determinantes

Operaciones matriciales y matriz inversa

Problema

2025 · Ordinaria

a) Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75€ por hora trabajada, 300€ por demostración y 250€ por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15% si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18% en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor. b) Sea

A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & a - 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}

¿Para qué valores de a es la matriz A invertible?

MatricesProblema contextualizadoInversa de una matriz+1

a) En primer lugar, definimos la matriz de actividad M, donde las filas representan a los vendedores (A, B y C) y las columnas representan las horas, demostraciones y viajes respectivamente. Asimismo, definimos el vector de precios P.

M = \begin{pmatrix} 40 & 10 & 5 \\ 80 & 15 & 8 \\ 100 & 25 & 10 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 75 \\ 300 \\ 250 \end{pmatrix}

Calculamos la cantidad bruta devengada por cada vendedor mediante el producto de la matriz M por el vector P:

G = M \cdot P = \begin{pmatrix} 40 & 10 & 5 \\ 80 & 15 & 8 \\ 100 & 25 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 75 \\ 300 \\ 250 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \cdot 75 + 10 \cdot 300 + 5 \cdot 250 \\ 80 \cdot 75 + 15 \cdot 300 + 8 \cdot 250 \\ 100 \cdot 75 + 25 \cdot 300 + 10 \cdot 250 \end{pmatrix}

G = \begin{pmatrix} 3000 + 3000 + 1250 \\ 6000 + 4500 + 2000 \\ 7500 + 7500 + 2500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7250 \\ 12500 \\ 17500 \end{pmatrix} \text{ euros}

Ahora aplicamos la retención del IRPF según las condiciones: 15% si el bruto es menor a 10.000 € y 18% en caso contrario.Para el vendedor A (7.250 < 10.000):

Neto_A = 7250 \cdot (1 - 0.15) = 7250 \cdot 0.85 = 6162.50 \text{ €}

Para el vendedor B (12.500 > 10.000):

Neto_B = 12500 \cdot (1 - 0.18) = 12500 \cdot 0.82 = 10250.00 \text{ €}

Para el vendedor C (17.500 > 10.000):

Neto_C = 17500 \cdot (1 - 0.18) = 17500 \cdot 0.82 = 14350.00 \text{ €}

b) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz A utilizando la regla de Sarrus.

|A| = \begin{vmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & a - 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix} = [(-2)(a-1)(3) + (2)(2)(4) + (1)(3)(0)] - [(1)(a-1)(4) + (2)(3)(3) + (-2)(2)(0)]

|A| = [-6(a-1) + 16 + 0] - [4(a-1) + 18 + 0]

|A| = -6a + 6 + 16 - (4a - 4 + 18) = -6a + 22 - (4a + 14)

|A| = -6a + 22 - 4a - 14 = -10a + 8

Para que la matriz sea invertible, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores excluidos:

-10a + 8 = 0 \implies 10a = 8 \implies a = \frac{8}{10} = 0.8

Por lo tanto, la matriz A es invertible para cualquier valor de a tal que:

\mathbf{a \neq 0.8}