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T1: Interacción gravitatoria
Campo y fuerza gravitatoria
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
A-b1
Examen
b1) Dos masas puntuales, de masas 2 kg2 \text{ kg} y 3 kg3 \text{ kg}, están colocadas en los puntos A(2,0) mA(2,0) \text{ m} y B(0,2) mB(0,2) \text{ m}, respectivamente. i) Realice un esquema del campo gravitatorio en el punto C(3,1) mC(3,1) \text{ m}. ii) Calcule el vector campo gravitatorio en dicho punto. iii) Calcule el vector fuerza que experimenta la masa de 3 kg3 \text{ kg}.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Masas puntualesVector campo gravitatorioLey de gravitación universal
i) Realice un esquema del campo gravitatorio en el punto C(3,1) mC(3,1) \text{ m}.

El campo gravitatorio en un punto es la suma vectorial de los campos creados por cada masa. Dado que las masas son atractivas, los vectores campo g⃗A\vec{g}_A y g⃗B\vec{g}_B apuntarán desde el punto CC hacia las masas mAm_A y mBm_B respectivamente.

XYmm_A (2,0)mm_B (0,2)C (3,1)g1g2g_neta
ii) Calcule el vector campo gravitatorio en dicho punto.

Aplicamos el principio de superposición, donde el campo total es g⃗C=g⃗A+g⃗B\vec{g}_C = \vec{g}_A + \vec{g}_B. La expresión general del campo es:

g⃗=−GMr2u⃗r=−GMr3r⃗\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r = -G \frac{M}{r^3} \vec{r}

Para la masa mA=2 kgm_A = 2 \text{ kg} en A(2,0)A(2,0) respecto a C(3,1)C(3,1): r⃗AC=r⃗C−r⃗A=(3−2)i⃗+(1−0)j⃗=(1i⃗+1j⃗) m\vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A = (3-2) \vec{i} + (1-0) \vec{j} = (1 \vec{i} + 1 \vec{j}) \text{ m} rAC=12+12=2 mr_{AC} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}

g⃗A=−6,67⋅10−112(2)3(1i⃗+1j⃗)=−4,72⋅10−11i⃗−4,72⋅10−11j⃗ N⋅kg−1\vec{g}_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2}{(\sqrt{2})^3} (1 \vec{i} + 1 \vec{j}) = -4,72 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 4,72 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Para la masa mB=3 kgm_B = 3 \text{ kg} en B(0,2)B(0,2) respecto a C(3,1)C(3,1): r⃗BC=r⃗C−r⃗B=(3−0)i⃗+(1−2)j⃗=(3i⃗−1j⃗) m\vec{r}_{BC} = \vec{r}_C - \vec{r}_B = (3-0) \vec{i} + (1-2) \vec{j} = (3 \vec{i} - 1 \vec{j}) \text{ m} rBC=32+(−1)2=10 mr_{BC} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \text{ m}

g⃗B=−6,67⋅10−113(10)3(3i⃗−1j⃗)=−1,90⋅10−11i⃗+0,63⋅10−11j⃗ N⋅kg−1\vec{g}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{(\sqrt{10})^3} (3 \vec{i} - 1 \vec{j}) = -1,90 \cdot 10^{-11} \vec{i} + 0,63 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Sumando ambas contribuciones vectoriales:

g⃗C=(−4,72−1,90)⋅10−11i⃗+(−4,72+0,63)⋅10−11j⃗=−6,62⋅10−11i⃗−4,09⋅10−11j⃗ N⋅kg−1\vec{g}_C = (-4,72 - 1,90) \cdot 10^{-11} \vec{i} + (-4,72 + 0,63) \cdot 10^{-11} \vec{j} = -6,62 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 4,09 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}
iii) Calcule el vector fuerza que experimenta la masa de 3 kg3 \text{ kg}.

La fuerza sobre la masa mBm_B es debida exclusivamente a la interacción con mAm_A. Utilizamos la ley de gravitación universal:

F⃗B=−GmAmBrAB3r⃗AB\vec{F}_B = -G \frac{m_A m_B}{r_{AB}^3} \vec{r}_{AB}

Siendo r⃗AB=r⃗B−r⃗A=(0−2)i⃗+(2−0)j⃗=(−2i⃗+2j⃗) m\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0-2) \vec{i} + (2-0) \vec{j} = (-2 \vec{i} + 2 \vec{j}) \text{ m} y la distancia rAB=(−2)2+22=8 mr_{AB} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} \text{ m}:

F⃗B=−6,67⋅10−112⋅3(8)3(−2i⃗+2j⃗)=−1,77⋅10−11(−2i⃗+2j⃗)\vec{F}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2 \cdot 3}{(\sqrt{8})^3} (-2 \vec{i} + 2 \vec{j}) = -1,77 \cdot 10^{-11} (-2 \vec{i} + 2 \vec{j})
F⃗B=3,54⋅10−11i⃗−3,54⋅10−11j⃗ N\vec{F}_B = 3,54 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 3,54 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N}