T1: Interacción gravitatoria

Satélites en órbita

Teoría

2023 · Extraordinaria · Titular

A1-a

a) Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape desde la órbita es la cuarta parte de la velocidad de escape desde la superficie terrestre. i) Deduzca la relación que existe entre el radio de la órbita y el radio terrestre. ii) Determine la relación entre la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y en la órbita del satélite.

Velocidad de escapeRadio orbitalIntensidad de campo

a) i) Para deducir la relación entre el radio de la órbita

r

y el radio terrestre

R_T

, partimos de la definición de la velocidad de escape.

La velocidad de escape $v_e$ de un cuerpo desde la superficie de un astro o desde una órbita se obtiene igualando su energía mecánica a cero (umbral de escape al infinito):

E_m = E_c + E_p = 0 \implies \frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{M_T m}{R} = 0 \implies v_e = \sqrt{\frac{2GM_T}{R}}

Definimos la velocidad de escape desde la superficie terrestre ( $v_{es}$ ) y desde la órbita ( $v_{eo}$ ):

v_{es} = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}} \quad ; \quad v_{eo} = \sqrt{\frac{2GM_T}{r}}

De acuerdo con el enunciado, la velocidad de escape desde la órbita es la cuarta parte de la velocidad desde la superficie:

v_{eo} = \frac{1}{4} v_{es} \implies \sqrt{\frac{2GM_T}{r}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}

Elevamos ambos miembros al cuadrado para despejar la relación entre los radios:

\frac{2GM_T}{r} = \frac{1}{16} \left( \frac{2GM_T}{R_T} \right) \implies \frac{1}{r} = \frac{1}{16 R_T}

La relación final es:

r = 16 R_T

a) ii) Determinamos la relación entre la aceleración de la gravedad en la superficie

g_0

y en la órbita

g_{orb}

La intensidad del campo gravitatorio o aceleración de la gravedad a una distancia $R$ del centro de la Tierra es:

g = \frac{GM_T}{R^2}

Aplicamos la fórmula para ambos casos:

g_0 = \frac{GM_T}{R_T^2} \quad ; \quad g_{orb} = \frac{GM_T}{r^2}

Sustituimos el valor obtenido anteriormente, $r = 16 R_T$ , en la expresión de la gravedad en la órbita:

g_{orb} = \frac{GM_T}{(16 R_T)^2} = \frac{GM_T}{256 R_T^2} = \frac{1}{256} \left( \frac{GM_T}{R_T^2} \right)

Comparando con la gravedad en la superficie, obtenemos la relación solicitada:

g_{orb} = \frac{g_0}{256} \implies \frac{g_0}{g_{orb}} = 256