T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

B1-b

b) En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme de

2 \cdot 10^5 \text{ V/m}

en el sentido positivo del eje

OY

. Para un protón que se encuentra inicialmente en reposo en un punto de dicha región, calcule: i) la fuerza que actúa sobre el protón; ii) el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando el protón ha recorrido una distancia de

5 \cdot 10^{-2} \text{ m}

; iii) la velocidad final tras recorrer dicha distancia.

Datos: $m_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$

Fuerza eléctricaTrabajoEnergía cinética

b) i) Calcule la fuerza que actúa sobre el protón.

La fuerza eléctrica $\vec{F}$ que actúa sobre una carga puntual $q$ en el seno de un campo eléctrico uniforme $\vec{E}$ viene determinada por la expresión vectorial:

\vec{F} = q \cdot \vec{E}

Sustituyendo los valores del protón ( $q = +1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ) y el campo eléctrico dado ( $\vec{E} = 2 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ V/m}$ ):

\vec{F} = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (2 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ N/C}) = 3,2 \cdot 10^{-14} \vec{j} \text{ N}

ii) Calcule el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando el protón ha recorrido una distancia de

5 \cdot 10^{-2} \text{ m}

El trabajo $W$ realizado por una fuerza constante a lo largo de un desplazamiento $\Delta \vec{r}$ se define como el producto escalar de ambos vectores. Dado que el protón se mueve en la misma dirección y sentido que la fuerza (eje $OY$ positivo):

W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ)

Sustituyendo el módulo de la fuerza calculada en el apartado anterior y la distancia recorrida $d = 5 \cdot 10^{-2} \text{ m}$ :

W = (3,2 \cdot 10^{-14} \text{ N}) \cdot (5 \cdot 10^{-2} \text{ m}) = 1,6 \cdot 10^{-15} \text{ J}

iii) Calcule la velocidad final tras recorrer dicha distancia.

De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética, el trabajo total realizado sobre el protón es igual a la variación de su energía cinética:

W = \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_0^2

Puesto que el protón se encuentra inicialmente en reposo ( $v_0 = 0 \text{ m/s}$ ), podemos despejar la velocidad final $v_f$ de la siguiente forma:

v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}}

Introduciendo los datos de la masa del protón ( $m_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ ) y el trabajo obtenido anteriormente:

v_f = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-15} \text{ J}}{1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} \approx 1,37 \cdot 10^6 \text{ m/s}