T2: Interacción electromagnética

Magnetismo

Teoría

2023 · Ordinaria · Suplente

B2-a

a) Una partícula de masa

m

y carga

q

se mueve en un campo magnético uniforme

\vec{B}

describiendo una trayectoria circular de radio

R

. i) Deduzca razonadamente la expresión del radio en función del campo, la masa, la carga y la velocidad de la partícula. ii) Determine la relación entre las velocidades de dos partículas de igual masa y cargas

q

3q

que describen trayectorias circulares de igual radio

R

en el seno de un mismo campo magnético.

Fuerza de LorentzMovimiento circular

a) i) Una partícula con carga

q

que se desplaza con una velocidad

\vec{v}

en presencia de un campo magnético uniforme

\vec{B}

experimenta una fuerza magnética descrita por la ley de Lorentz:

\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})

Si la velocidad es perpendicular al campo magnético ( $\vec{v} \perp \vec{B}$ ), el módulo de la fuerza es $F_m = |q| v B \sin(90^\circ) = |q| v B$ . Como esta fuerza es permanentemente perpendicular al vector velocidad, no realiza trabajo (no cambia el módulo de la velocidad) y actúa exclusivamente como una fuerza centrípeta $F_c$ .

Igualamos la expresión de la fuerza magnética con la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular de radio $R$ :

m \frac{v^2}{R} = |q| v B

Simplificando una unidad de velocidad $v$ en ambos lados de la ecuación y despejando el radio $R$ , obtenemos la expresión solicitada:

R = \frac{m v}{|q| B}

a) ii) Para determinar la relación entre las velocidades de dos partículas con la misma masa y trayectorias de igual radio en un mismo campo magnético, despejamos la velocidad

v

de la fórmula anterior:

v = \frac{R |q| B}{m}

Sean $v_1$ y $v_2$ las velocidades de las partículas con cargas $q_1 = q$ y $q_2 = 3q$ respectivamente. Dado que $R$ , $B$ y $m$ son constantes para ambas:

v_1 = \frac{R q B}{m}

v_2 = \frac{R (3q) B}{m} = 3 \left( \frac{R q B}{m} \right) = 3 v_1

La relación entre las velocidades es $v_2 = 3 v_1$ , es decir, la partícula con triple carga debe llevar el triple de velocidad para mantener el mismo radio de giro.