T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

A1-b

b) Un cuerpo de

2 \text{ kg}

asciende con velocidad constante por un plano inclinado

30^{\circ}

con respecto a la horizontal. Además de la fuerza de rozamiento, sobre el cuerpo actúa una fuerza de

10 \text{ N}

paralela a dicho plano. i) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. ii) Determine mediante consideraciones energéticas el trabajo realizado por cada una de las fuerzas cuando el cuerpo asciende una altura de

10 \text{ m}

Dato: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

Plano inclinadoTrabajoEnergía

i) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

En el esquema se representan las fuerzas que actúan sobre el bloque: el peso ( $P$ ), que se descompone en sus componentes tangencial y normal; la fuerza normal ( $N$ ); la fuerza de rozamiento ( $f_r$ ), que se opone al movimiento; y la fuerza externa aplicada ( $F$ ).

ii) Determine mediante consideraciones energéticas el trabajo realizado por cada una de las fuerzas cuando el cuerpo asciende una altura de

10 \text{ m}

Primero, calculamos la distancia recorrida sobre el plano ( $d$ ) utilizando la altura final ( $h$ ) y el ángulo de inclinación ( $\alpha$ ):

d = \frac{h}{\sin \alpha} = \frac{10 \text{ m}}{\sin 30^\circ} = 20 \text{ m}

1. Trabajo realizado por el peso ( $W_P$ ): El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la variación negativa de su energía potencial gravitatoria:

W_P = -\Delta E_p = -m \cdot g \cdot h = -2 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 \cdot 10 \text{ m} = -196 \text{ J}

2. Trabajo realizado por la fuerza aplicada ( $W_F$ ): Puesto que la fuerza es paralela al desplazamiento y en el mismo sentido:

W_F = F \cdot d \cdot \cos 0^\circ = 10 \text{ N} \cdot 20 \text{ m} \cdot 1 = 200 \text{ J}

3. Trabajo realizado por la fuerza normal ( $W_N$ ): Como la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento en todo momento, su trabajo es nulo:

W_N = N \cdot d \cdot \cos 90^\circ = 0 \text{ J}

4. Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ): Aplicamos el teorema del trabajo y la energía cinética. Como el cuerpo asciende con velocidad constante, la variación de energía cinética ( $\Delta E_c$ ) es cero:

W_{\text{total}} = \Delta E_c = 0

El trabajo total es la suma del trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

W_P + W_F + W_N + W_{fr} = 0

Sustituimos los valores obtenidos anteriormente para despejar el trabajo del rozamiento:

-196 \text{ J} + 200 \text{ J} + 0 \text{ J} + W_{fr} = 0

4 \text{ J} + W_{fr} = 0 \implies W_{fr} = -4 \text{ J}