T3: Espacion afín y euclideo · Rectas y planos — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

T3: Espacion afín y euclideo

Rectas y planos

Problema

2025 · Ordinaria

Considera el punto $P(1, 1, 1)$ y la recta $r$ :

r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{2}

a) Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$ . b) Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ .

RectasPlanosPerpendicularidad

a) Para hallar el plano que pasa por el punto P(1, 1, 1) y contiene a la recta r, necesitamos un punto y dos vectores directores que definan el plano. De la ecuación de la recta r, obtenemos un punto A y su vector director:

A(1, 2, 3), \quad \vec{v}_r = (1, 2, 2)

Como el punto P y la recta r están contenidos en el plano, podemos formar un segundo vector director utilizando el punto P y el punto A de la recta:

\vec{AP} = P - A = (1 - 1, 1 - 2, 1 - 3) = (0, -1, -2)

La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico (x, y, z), el punto P y los dos vectores directores:

\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0

Desarrollamos el determinante por la primera fila:

(x - 1)(-4 + 2) - (y - 1)(-2 - 0) + (z - 1)(-1 - 0) = 0

-2(x - 1) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0 \implies -2x + 2 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Simplificando, obtenemos la ecuación del plano:

\mathbf{2x - 2y + z - 1 = 0}

b) Para hallar la recta s que pasa por P(1, 1, 1) y corta perpendicularmente a r, buscamos un punto genérico Q en la recta r tal que el vector PQ sea perpendicular al vector director de r. Expresamos r en forma paramétrica:

Q(1 + \lambda, 2 + 2\lambda, 3 + 2\lambda)

Construimos el vector PQ:

\vec{PQ} = Q - P = (1 + \lambda - 1, 2 + 2\lambda - 1, 3 + 2\lambda - 1) = (\lambda, 1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda)

Imponemos la condición de perpendicularidad entre el vector PQ y el vector director de r:

\vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (\lambda, 1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda) \cdot (1, 2, 2) = 0

\lambda + 2(1 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) = 0 \implies \lambda + 2 + 4\lambda + 4 + 4\lambda = 0

9\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}

Sustituimos el valor de lambda para hallar el vector director de la recta buscada s:

\vec{v}_s = \vec{PQ} = \left( -\frac{2}{3}, 1 - \frac{4}{3}, 2 - \frac{4}{3} \right) = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)

Podemos simplificar el vector director multiplicando por -3 para obtener números enteros:

\vec{v}_s = (2, 1, -2)

Finalmente, escribimos la ecuación continua de la recta s que pasa por P(1, 1, 1):

\mathbf{s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-2}}