T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía mecánica

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

A2-b

Un cuerpo de $5 \text{ kg}$ desliza con una velocidad inicial de $6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ por una superficie horizontal de $5 \text{ m}$ de longitud y coeficiente de rozamiento $0,2$ . A continuación, asciende por un plano inclinado sin rozamiento que forma $30^{\circ}$ con la horizontal.

b) i) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo cuando desliza por la superficie horizontal y por el plano inclinado.ii) Utilizando consideraciones energéticas, determine la velocidad con la que el cuerpo llega al final de la superficie horizontal.iii) Determine la altura máxima a la que asciende el cuerpo por el plano inclinado.

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

rozamientoplano inclinadoconservación energía

b) i) A continuación se presentan los esquemas de fuerzas para el tramo horizontal (con rozamiento) y el tramo inclinado (sin rozamiento):

Esquema de fuerzas en la superficie horizontal:

Esquema de fuerzas en el plano inclinado:

b) ii) Para determinar la velocidad al final de la superficie horizontal, aplicamos el teorema del trabajo y la energía mecánica. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (

W_{fr}

) es igual a la variación de la energía mecánica del cuerpo (

\Delta E_m

W_{fr} = \Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i}

En la superficie horizontal, la variación de energía potencial es nula ( $\Delta E_p = 0$ ), por lo que la variación de energía mecánica se reduce a la variación de energía cinética. La fuerza de rozamiento se define como $f_r = \mu \cdot N$ , y en un plano horizontal $N = m \cdot g$ :

-\mu \cdot m \cdot g \cdot d = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_0^2

Simplificando la masa $m$ y despejando la velocidad final $v_f$ :

v_f = \sqrt{v_0^2 - 2 \cdot \mu \cdot g \cdot d}

Sustituyendo los valores conocidos $v_0 = 6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ , $\mu = 0,2$ , $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ y $d = 5 \text{ m}$ :

v_f = \sqrt{6^2 - 2 \cdot 0,2 \cdot 9,8 \cdot 5} = \sqrt{36 - 19,6} = \sqrt{16,4} \approx 4,05 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

b) iii) En el plano inclinado no hay rozamiento, por lo que la energía mecánica se conserva (

E_{m,A} = E_{m,B}

). Tomamos como referencia el nivel de la superficie horizontal (

h=0

E_{c,base} + E_{p,base} = E_{c,max} + E_{p,max}

En la base del plano, la velocidad es $v_f = 4,05 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $h = 0$ . En el punto de altura máxima, la velocidad es cero ( $v = 0$ ):

\frac{1}{2} m v_f^2 = m \cdot g \cdot h_{max}

Despejamos la altura máxima $h_{max}$ :

h_{max} = \frac{v_f^2}{2g} = \frac{16,4}{2 \cdot 9,8} = \frac{16,4}{19,6} \approx 0,837 \text{ m}