T1: Interacción gravitatoria · Leyes de Kepler — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T1: Interacción gravitatoria

Leyes de Kepler

Teoría

2024 · Extraordinaria · Suplente

A2-a

a) i) Enuncie la tercera ley de Kepler identificando las magnitudes involucradas y sus unidades en el S.I. ii) Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un planeta de masa

M

. Si el radio de la primera órbita es el doble que el de la segunda, razone la relación que existe entre los periodos orbitales de los satélites.

tercera ley de Keplerórbitas circularesperiodo orbital

a) i) La tercera ley de Kepler, o ley de los periodos, establece que para cualquier satélite que orbita un cuerpo central, el cuadrado de su periodo orbital es directamente proporcional al cubo del radio de su órbita circular (o del semieje mayor de su elipse).

T^2 = k \cdot r^3

Donde las magnitudes y sus unidades en el Sistema Internacional (S.I.) son:- $T$ : Periodo orbital, el tiempo que tarda el satélite en completar una órbita. Se mide en segundos ( $\text{s}$ ).- $r$ : Radio de la órbita circular. Se mide en metros ( $\text{m}$ ).- $k$ : Constante de proporcionalidad, que depende de la masa del cuerpo central $M$ y de la constante de gravitación universal $G$ , expresada como $k = \frac{4\pi^2}{G M}$ .

a) ii) Para relacionar los periodos de dos satélites que orbitan el mismo planeta, utilizamos la relación constante derivada de la tercera ley de Kepler:

\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3}

El enunciado establece que el radio de la primera órbita es el doble que el de la segunda, es decir, $R_1 = 2 R_2$ . Sustituimos esta condición en la ecuación anterior:

\frac{T_1^2}{(2 R_2)^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3}

Desarrollamos el cubo del primer término:

\frac{T_1^2}{8 R_2^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3}

Simplificamos el radio $R_2^3$ en ambos miembros para obtener la relación entre los periodos:

T_1^2 = 8 T_2^2

Finalmente, aplicamos la raíz cuadrada para hallar la proporción directa entre $T_1$ y $T_2$ :

T_1 = \sqrt{8} T_2 = 2\sqrt{2} T_2 \approx 2,83 T_2

La relación existente es que el periodo del primer satélite es $2\sqrt{2}$ veces mayor (aproximadamente $2,83$ veces) que el periodo del segundo satélite.