T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico uniforme

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

B-b2

b2) Un electrón, inicialmente en reposo, que está situado en el seno de un campo eléctrico uniforme adquiere una aceleración de

10^{12} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

, en sentido positivo del eje

OX

, por acción del campo. Obtenga razonadamente: i) el vector campo eléctrico; ii) el módulo de la velocidad y la energía cinética, a partir de consideraciones energéticas, cuando ha recorrido

0,5 \text{ m}

Datos: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$

Campo eléctricoAceleración de cargaEnergía cinética

Movimiento de un electrón en un campo eléctrico uniforme

i) El vector campo eléctrico.

Para calcular el vector campo eléctrico $\vec{E}$ , aplicamos la segunda ley de Newton y la definición de fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Puesto que la única fuerza actuando es la eléctrica:

\vec{F}_e = m_e \cdot \vec{a}

Sustituyendo la expresión de la fuerza eléctrica $\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}$ , donde para un electrón $q = -e$ :

q \cdot \vec{E} = m_e \cdot \vec{a} \implies \vec{E} = \frac{m_e \cdot \vec{a}}{q}

Sustituyendo los valores numéricos con la aceleración en el eje positivo $OX$ , $\vec{a} = 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ :

\vec{E} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}}{-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}}

\vec{E} = -5,69 \vec{i} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

ii) El módulo de la velocidad y la energía cinética tras recorrer

0,5 \text{ m}

Utilizando el teorema de la energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas), el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre el electrón es igual a la variación de su energía cinética. Como parte del reposo ( $E_{c,0} = 0$ ):

W = \Delta E_c = E_{c,f} - 0

El trabajo realizado por una fuerza constante es $W = F \cdot d$ , donde $F = m_e \cdot a$ :

E_c = m_e \cdot a \cdot d

E_c = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 10^{12} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 0,5 \text{ m} = 4,55 \cdot 10^{-19} \text{ J}

A partir de la energía cinética, despejamos el módulo de la velocidad final:

E_c = \frac{1}{2} m_e v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2 \cdot E_c}{m_e}}

v = \sqrt{\frac{2 \cdot 4,55 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} = \sqrt{10^{12}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}