T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

B-b1

Una bobina formada por $1000$ espiras circulares de $2,5 \text{ cm}$ de radio se encuentra dentro de un campo magnético variable con el tiempo de módulo: $B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (SI)}$ . La dirección del campo forma un ángulo de $60^\circ$ con el plano de las espiras. Calcule razonadamente:

i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

.ii) La fuerza electromotriz inducida, en valor absoluto, para

t = 2 \text{ s}

Ley de FaradayFlujo magnéticoFuerza electromotriz

i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

El flujo magnético $\Phi$ a través de una bobina de $N$ espiras viene dado por el producto escalar del campo magnético y el vector superficie. Puesto que el campo forma un ángulo de $60^\circ$ con el plano de las espiras, el ángulo $\theta$ entre el vector campo magnético $\vec{B}$ y el vector superficie $\vec{S}$ (que es normal al plano) es de $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ .

\Phi(t) = N \cdot B(t) \cdot S \cdot \cos(\theta)

Primero calculamos la superficie $S$ de una espira circular a partir de su radio $r = 2,5 \text{ cm} = 0,025 \text{ m}$ :

S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,025 \text{ m})^2 = 6,25\pi \cdot 10^{-4} \text{ m}^2 \approx 1,963 \cdot 10^{-3} \text{ m}^2

Calculamos el valor del módulo del campo magnético para $t = 2 \text{ s}$ :

B(2) = 1 + 0,5(2) - 0,2(2)^2 = 1 + 1 - 0,8 = 1,2 \text{ T}

Sustituimos todos los valores en la expresión del flujo para $t = 2 \text{ s}$ :

\Phi(2) = 1000 \cdot 1,2 \text{ T} \cdot 1,963 \cdot 10^{-3} \text{ m}^2 \cdot \cos(30^\circ) = 2,0405 \text{ Wb}

ii) La fuerza electromotriz inducida, en valor absoluto, para

t = 2 \text{ s}

De acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida (\text{fem}) es igual a la variación temporal del flujo magnético cambiada de signo:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -N \cdot S \cdot \cos(\theta) \cdot \frac{dB}{dt}

Derivamos la expresión del campo magnético respecto al tiempo:

\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + 0,5t - 0,2t^2) = 0,5 - 0,4t

Evaluamos la derivada para $t = 2 \text{ s}$ :

\left. \frac{dB}{dt} \right|_{t=2} = 0,5 - 0,4(2) = 0,5 - 0,8 = -0,3 \text{ T} \cdot \text{s}^{-1}

Calculamos el valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida:

|\varepsilon(2)| = | -1000 \cdot 1,963 \cdot 10^{-3} \text{ m}^2 \cdot \cos(30^\circ) \cdot (-0,3 \text{ T} \cdot \text{s}^{-1}) |

|\varepsilon(2)| = 0,5101 \text{ V}