T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T3: Vibraciones y ondas

Ondas estacionarias

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

C1-b

b) En una cuerda tensa con sus extremos fijos se ha generado una onda de ecuación:

y(x,t) = 0,2 \cdot \sin(3\pi x) \cdot \cos(6\pi t) \text{ (S.I.)}

. i) Determine la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a la onda anterior. ii) Calcule razonadamente la distancia entre dos nodos consecutivos y la distancia entre un vientre y un nodo consecutivos.

SuperposiciónNodosVientres

i) Determine la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a la onda anterior.

La ecuación dada, $y(x,t) = 0.2 \cdot \sin(3\pi x) \cdot \cos(6\pi t)$ , corresponde a una onda estacionaria resultante de la interferencia de dos ondas armónicas que viajan en sentidos opuestos. La expresión general para una onda estacionaria con extremos fijos es $y(x,t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ .Al comparar ambas expresiones, identificamos los valores del número de onda ( $k$ ) y de la frecuencia angular ( $\omega$ ):

k = 3\pi \text{ rad/m}

\omega = 6\pi \text{ rad/s}

Calculamos la longitud de onda ( $\lambda$ ) a partir de la definición del número de onda:

k = \frac{2\pi}{\lambda} \implies \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3} \text{ m} \approx 0.667 \text{ m}

La velocidad de propagación ( $v$ ) de las ondas armónicas individuales que generan el patrón estacionario se define como:

v = \frac{\omega}{k} = \frac{6\pi \text{ rad/s}}{3\pi \text{ rad/m}} = 2 \text{ m/s}

ii) Calcule razonadamente la distancia entre dos nodos consecutivos y la distancia entre un vientre y un nodo consecutivos.

En una onda estacionaria, los nodos son los puntos de amplitud nula. La condición de nodo se cumple cuando el término espacial $\sin(kx) = 0$ , lo que implica que $kx = n\pi$ . La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda:

d_{NN} = \frac{\lambda}{2} = \frac{2/3 \text{ m}}{2} = \frac{1}{3} \text{ m} \approx 0.333 \text{ m}

Los vientres o antinodos son los puntos de máxima amplitud ( $\|\sin(kx)\| = 1$ ). La distancia entre un vientre y el nodo inmediatamente posterior es la cuarta parte de la longitud de onda:

d_{NV} = \frac{\lambda}{4} = \frac{2/3 \text{ m}}{4} = \frac{1}{6} \text{ m} \approx 0.167 \text{ m}