T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

C1-b

b) La ecuación de una onda armónica transversal en una cuerda tensa viene dada por:

y(x,t) = 3 \cdot \sin(\pi/2 t - \pi x) \text{ (S.I.)}

Determine razonadamente: i) la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de un punto cualquiera; ii) la distancia a la que se encuentran dos puntos de la cuerda si en un instante dado hay entre ellos una diferencia de fase de

3\pi/2

Ecuación de ondaDiferencia de fase

La ecuación de la onda armónica es $y(x,t) = 3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} t - \pi x\right)$ . Al compararla con la expresión general $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$ , se identifican los siguientes parámetros característicos en el Sistema Internacional:

A = 3 \text{ m}; \quad \omega = \frac{\pi}{2} \text{ rad/s}; \quad k = \pi \text{ rad/m}

i) Cálculo de la velocidad de propagación (

v

) y la velocidad máxima de vibración (

v_{max}

La velocidad de propagación de la onda representa el avance de la fase en el espacio y se calcula mediante la relación entre la frecuencia angular y el número de onda:

v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/2 \text{ rad/s}}{\pi \text{ rad/m}} = 0,5 \text{ m/s}

La velocidad de vibración de cualquier punto de la cuerda es la derivada parcial de la elongación respecto al tiempo, $v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t}$ :

v_y(x,t) = A \omega \cos\left(\frac{\pi}{2} t - \pi x\right)

El valor máximo de esta velocidad se alcanza cuando el término del coseno es igual a la unidad:

v_{max} = A \cdot \omega = 3 \text{ m} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ rad/s} = \frac{3\pi}{2} \text{ m/s} \approx 4,71 \text{ m/s}

ii) Determinación de la distancia

\Delta x

para una diferencia de fase

\Delta \phi = 3\pi/2

La diferencia de fase entre dos puntos de una onda en un mismo instante de tiempo está relacionada con la distancia que los separa a través del número de onda $k$ :

\Delta \phi = k \cdot \Delta x \implies \Delta x = \frac{\Delta \phi}{k}

Sustituyendo el valor de la diferencia de fase dada y el valor de $k$ extraído de la ecuación:

\Delta x = \frac{3\pi/2 \text{ rad}}{\pi \text{ rad/m}} = \frac{3}{2} \text{ m} = 1,5 \text{ m}