T1: Interacción gravitatoria

Potencial y trabajo gravitatorio

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

A1-b

b) Un triángulo equilátero de lado

6 \text{ m}

se sitúa con su base sobre el eje

OX

. En los dos vértices de dicha base se sitúan dos partículas puntuales de masa

3 \text{ kg}

. Calcule razonadamente: i) el campo gravitatorio creado por las dos masas en el tercer vértice, ayudándose de un esquema; ii) el potencial gravitatorio en ese tercer vértice, asumiendo que en el infinito el potencial es nulo; iii) el trabajo realizado por el campo gravitatorio para traer una masa de

1 \text{ kg}

desde el infinito hasta ese punto. Justifique el signo del trabajo.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Triángulo equiláteroPotencial gravitatorioTrabajo

i) Para calcular el campo gravitatorio en el tercer vértice, situamos las masas

m_1 = m_2 = 3 \text{ kg}

en los puntos

(-3, 0)

(3, 0)

del plano

XY

. El tercer vértice se encuentra en el eje de simetría (eje

Y

). Debido a la simetría del problema, las componentes horizontales del campo gravitatorio se anulan, sumándose únicamente las componentes verticales.

La distancia de cada masa al tercer vértice es el lado del triángulo, $r = 6 \text{ m}$ . El ángulo que forma cada vector campo con el eje vertical es de $30^\circ$ (ya que el ángulo interno del triángulo equilátero es $60^\circ$ ). El módulo del campo creado por una sola masa es:

g_1 = g_2 = G \frac{m}{r^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{6^2} = 5,56 \cdot 10^{-12} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Calculamos el campo total sumando las componentes vectoriales:

\vec{g} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (g_{1x} + g_{2x}) \vec{i} + (g_{1y} + g_{2y}) \vec{j} = 0 \vec{i} + 2 \cdot g_1 \cdot \cos(180^\circ - 30^\circ) \vec{j}

\vec{g} = -2 \cdot 5,56 \cdot 10^{-12} \cdot \cos(30^\circ) \vec{j} = -9,63 \cdot 10^{-12} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El potencial gravitatorio es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales creados por cada masa individualmente:

V = \sum -G \frac{m_i}{r_i} = -G \frac{m_1}{r} - G \frac{m_2}{r} = -2 \frac{G m}{r}

V = -2 \cdot \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 3}{6} = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

iii) El trabajo realizado por el campo gravitatorio para traer una masa

m = 1 \text{ kg}

desde el infinito hasta el punto

P

se define como la diferencia negativa de la energía potencial:

W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = -(E_{p,f} - E_{p,i}) = E_{p,i} - E_{p,f}

Sabiendo que el potencial en el infinito es nulo ( $E_{p,i} = 0$ ):

W_{\text{campo}} = 0 - (m \cdot V_P) = -1 \text{ kg} \cdot (-6,67 \cdot 10^{-11} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ J}

El signo del trabajo es positivo porque el campo gravitatorio es atractivo. Esto indica que el propio campo realiza el trabajo para acercar la masa, ya que la fuerza gravitatoria y el desplazamiento tienen el mismo sentido, resultando en un proceso espontáneo que disminuye la energía potencial del sistema.