Un protón y un electrón tienen la misma energía cinética de . Calcule razonadamente: i) la longitud de onda de De Broglie de cada una de ellas; ii) la diferencia de potencial necesaria para detener cada una de ellas, justificando si el potencial debe aumentar o disminuir en cada caso. Datos: ; ; ;
i) Para calcular la longitud de onda de De Broglie, partimos de la dualidad onda-corpúsculo, que relaciona la longitud de onda con el momento lineal de la partícula mediante la constante de Planck:
Dado que conocemos la energía cinética y esta se define en términos del momento lineal, podemos expresar la longitud de onda en función de dicha energía:
Calculamos la longitud de onda para el electrón utilizando su masa específica:
Realizamos el mismo cálculo para el protón empleando su masa correspondiente:
ii) Para detener las partículas, el trabajo realizado por el campo eléctrico debe ser igual a la variación de su energía cinética. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica o el teorema de la energía cinética, tenemos que la energía cinética inicial se transforma íntegramente en energía potencial eléctrica al detenerse:
Sustituyendo los valores para ambas partículas (ya que ambas tienen la misma carga en valor absoluto y la misma energía cinética):
Justificación del signo del potencial: Para el protón (carga positiva), para detenerlo se debe aplicar una fuerza opuesta a su movimiento. Esto ocurre cuando se desplaza hacia regiones de mayor potencial (el campo eléctrico va de mayor a menor potencial y ejerce fuerza en ese sentido sobre cargas positivas). Por tanto, para el protón el potencial debe aumentar. En el caso del electrón (carga negativa), la fuerza eléctrica tiene sentido opuesto al campo. Para frenarlo, debe dirigirse hacia regiones de menor potencial, de modo que la fuerza eléctrica se oponga a su velocidad. Por tanto, para el electrón el potencial debe disminuir.El resultado final para el potencial necesario es: