T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio de masas puntuales

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

A-b1

b1) Dos masas puntuales de

200 \text{ kg}

están situadas en los puntos

A(0,-3) \text{ m}

B(0,3) \text{ m}

. Calcule razonadamente: i) el campo gravitatorio en el punto

C(4,0) \text{ m}

, apoyándose en un esquema; ii) la fuerza sobre una masa puntual de

3 \text{ kg}

situada en el origen.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Intensidad de campo gravitatorioFuerza gravitatoriaSuperposición

i) Para calcular el campo gravitatorio total en el punto

C(4,0)

, aplicamos el principio de superposición:

\vec{g}_C = \vec{g}_A + \vec{g}_B

Calculamos las distancias desde las masas hasta el punto $C$ y los vectores unitarios correspondientes. La distancia $r$ es la misma para ambos puntos debido a la simetría:

r = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ m}

Los vectores unitarios que van desde el punto $C$ hacia las masas (dirección del campo) son:

\vec{u}_A = \frac{A-C}{|A-C|} = \frac{(0-4)\vec{i} + (-3-0)\vec{j}}{5} = -0.8\vec{i} - 0.6\vec{j}

\vec{u}_B = \frac{B-C}{|B-C|} = \frac{(0-4)\vec{i} + (3-0)\vec{j}}{5} = -0.8\vec{i} + 0.6\vec{j}

Aplicando la fórmula del campo gravitatorio creado por una masa puntual $\vec{g} = G \frac{M}{r^2} \vec{u}$ :

\vec{g}_C = G \frac{200}{5^2} (-0.8\vec{i} - 0.6\vec{j}) + G \frac{200}{5^2} (-0.8\vec{i} + 0.6\vec{j})

Observamos que las componentes en el eje $y$ se anulan por simetría, sumándose las del eje $x$ :

\vec{g}_C = 8G (-1.6\vec{i}) = -12.8 G \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

\vec{g}_C = -12.8 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \vec{i} = -8.54 \cdot 10^{-10} \vec{i} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) Para calcular la fuerza sobre una masa puntual de

m = 3 \text{ kg}

situada en el origen

(0,0)

, analizamos la intensidad de campo en dicho punto.

El origen se encuentra exactamente a la misma distancia de ambas masas ( $3 \text{ m}$ ). El campo creado por la masa en $A$ apunta hacia el semieje negativo de las $y$ , mientras que el campo creado por la masa en $B$ apunta hacia el semieje positivo:

\vec{g}_A(0,0) = G \frac{200}{3^2} (-\vec{j}) \quad ; \quad \vec{g}_B(0,0) = G \frac{200}{3^2} (\vec{j})

El campo total en el origen es nulo:

\vec{g}_{total}(0,0) = \vec{g}_A + \vec{g}_B = 0 \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Por lo tanto, la fuerza gravitatoria resultante sobre la masa de $3 \text{ kg}$ es:

\vec{F} = m \cdot \vec{g}_{total} = 3 \text{ kg} \cdot 0 \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1} = 0 \text{ N}