T1: Interacción gravitatoria

Órbitas planetarias

Teoría

2024 · Ordinaria · Reserva

A2-a

a) Dos planetas A y B describen órbitas circulares alrededor de una estrella. Razone cuál de los dos planetas tiene mayor energía cinética en las siguientes situaciones: i) ambas masas son iguales y el radio de la órbita del planeta A es mayor que el de B; ii) los radios de sus órbitas son iguales pero la masa del planeta B es mayor que la de A.

Energía cinéticaÓrbitas circulares

a) Para determinar qué planeta tiene mayor energía cinética, debemos partir de la condición de equilibrio dinámico para una órbita circular, donde la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta.

Igualamos la expresión de la fuerza gravitatoria de Newton con la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular:

G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ la masa de la estrella, $m$ la masa del planeta, $r$ el radio de la órbita y $v$ la velocidad orbital. De esta expresión despejamos el término $v^2$ :

v^2 = \frac{G M}{r}

La energía cinética $E_c$ se define como:

E_c = \frac{1}{2} m v^2

Sustituyendo el valor de $v^2$ , obtenemos la expresión de la energía cinética en función de la masa y el radio de la órbita:

E_c = \frac{G M m}{2r}

i) En el caso de que ambas masas sean iguales ( $m_A = m_B$ ), la energía cinética es inversamente proporcional al radio de la órbita ( $E_c \propto 1/r$ ). Por tanto, si el radio de la órbita del planeta A es mayor que el de B ( $r_A > r_B$ ):

E_{cA} = \frac{G M m}{2r_A} < E_{cB} = \frac{G M m}{2r_B}

El planeta B tiene mayor energía cinética por estar en una órbita más cercana a la estrella.ii) En el caso de que los radios sean iguales ( $r_A = r_B$ ), la energía cinética es directamente proporcional a la masa del planeta ( $E_c \propto m$ ). Si la masa del planeta B es mayor que la de A ( $m_B > m_A$ ):

E_{cA} = \frac{G M m_A}{2r} < E_{cB} = \frac{G M m_B}{2r}

El planeta B tiene mayor energía cinética debido a su mayor masa.