T1: Interacción gravitatoria

Órbitas y energía orbital

Teoría

2023 · Ordinaria · Suplente

A1-a

a) Dos satélites de igual masa se encuentran en órbitas de igual radio alrededor de la Tierra y de Marte. Sabiendo que la masa de la Tierra es

9

veces la masa de Marte: i) deduzca la expresión de sus periodos orbitales y la relación entre ambos; ii) determine la relación entre las energías cinéticas de los satélites.

Leyes de KeplerEnergía cinéticaSatélites

Gravitación: Órbitas Satelitales

a) i) Para un satélite en órbita circular de radio

r

, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta, manteniendo al satélite en su trayectoria.

Igualamos la fuerza gravitatoria de Newton con la expresión de la fuerza centrípeta:

G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Despejamos la velocidad orbital $v$ :

v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}

Sabiendo que para un movimiento circular uniforme $v = \frac{2\pi r}{T}$ , sustituimos y despejamos el periodo $T$ :

T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G \cdot M}}

Para obtener la relación entre los periodos de los satélites en la Tierra ( $T_E$ ) y en Marte ( $T_M$ ), dividimos ambas expresiones considerando que $r$ es igual para ambos:

\frac{T_E}{T_M} = \frac{\sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G M_E}}}{\sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G M_M}}} = \sqrt{\frac{M_M}{M_E}}

Como el enunciado indica que $M_E = 9 M_M$ :

\frac{T_E}{T_M} = \sqrt{\frac{M_M}{9 M_M}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

a) ii) La energía cinética de un satélite en órbita viene dada por la expresión

E_c = \frac{1}{2} m v^2

Sustituyendo la velocidad orbital $v$ deducida anteriormente:

E_c = \frac{1}{2} m \left( \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} \right)^2 = \frac{G \cdot M \cdot m}{2r}

Calculamos la relación entre las energías cinéticas de los satélites en la Tierra ( $E_{c,E}$ ) y Marte ( $E_{c,M}$ ), dado que $m$ y $r$ son iguales:

\frac{E_{c,E}}{E_{c,M}} = \frac{\frac{G M_E m}{2r}}{\frac{G M_M m}{2r}} = \frac{M_E}{M_M}

Sustituyendo la relación de masas $M_E = 9 M_M$ :

\frac{E_{c,E}}{E_{c,M}} = \frac{9 M_M}{M_M} = 9