T3: Vibraciones y ondas · Ondas viajeras — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T3: Vibraciones y ondas

Ondas viajeras

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

C-b2

b2) La ecuación de una onda viajera que se propaga por una cuerda tensa es:

y(x,t) = 10 \cdot \sin(25 t - 15 x)

(SI). Calcule razonadamente: i) la velocidad de propagación de la onda; ii) la velocidad de oscilación de la cuerda en el punto

x = 0 \text{ m}

t = 5 \text{ s}

; iii) la diferencia de fase entre dos puntos que, en el mismo instante, están separados

2 \text{ m}

Ecuación de ondaVelocidad de propagaciónFase

Al comparar la ecuación proporcionada $y(x,t) = 10 \cdot \sin(25 t - 15 x)$ con la ecuación general de una onda armónica viajera $y(x,t) = A \cdot \sin(\omega t - kx)$ , identificamos los parámetros característicos en el Sistema Internacional:

A = 10 \text{ m}; \quad \omega = 25 \text{ rad/s}; \quad k = 15 \text{ rad/m}

i) La velocidad de propagación de la onda (

v

) se define como la rapidez con la que la perturbación se desplaza por el medio, y se calcula mediante la relación entre la frecuencia angular y el número de onda:

v = \frac{\omega}{k}

Sustituyendo los valores obtenidos de la ecuación:

v = \frac{25 \text{ rad/s}}{15 \text{ rad/m}} = \frac{5}{3} \approx 1,67 \text{ m/s}

ii) La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda (

v_y

) es la velocidad transversal con la que vibra cada partícula del medio. Se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo para una posición

x

fija:

v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = A \omega \cos(\omega t - kx)

Sustituyendo los valores específicos del problema para $x = 0 \text{ m}$ y $t = 5 \text{ s}$ :

v_y(0, 5) = 10 \cdot 25 \cdot \cos(25 \cdot 5 - 15 \cdot 0) = 250 \cdot \cos(125 \text{ rad})

Calculando el valor del coseno (asegurando que la calculadora esté en modo radianes):

v_y(0, 5) \approx 250 \cdot (-0,616) \approx -154,08 \text{ m/s}

iii) La fase de la onda es el argumento de la función seno,

\phi = \omega t - kx

. En un mismo instante de tiempo (

t

constante), la diferencia de fase (

\Delta \phi

) entre dos puntos separados una distancia

\Delta x = |x_2 - x_1|

se calcula como:

\Delta \phi = |(\omega t - kx_2) - (\omega t - kx_1)| = k \cdot \Delta x

Para una separación de $\Delta x = 2 \text{ m}$ y con $k = 15 \text{ rad/m}$ :

\Delta \phi = 15 \text{ rad/m} \cdot 2 \text{ m} = 30 \text{ rad}