Dadas las proyecciones horizontales del cuadrado ABCD, de la recta R y de su traza horizontal H, se pide: 1. Dibujar las proyecciones del octaedro regular ABCDEF situado en el primer diedro de proyección, sabiendo que su diagonal EF es perpendicular al plano horizontal de proyección y el punto E tiene cota cero. 2. Determinar la proyección vertical de R sabiendo que forma 30º con el plano horizontal de proyección. 3. Representar la recta S paralela a R y que pasa por el punto medio de la diagonal EF.
Para representar el octaedro regular sabiendo que la diagonal EF es perpendicular al plano horizontal (recta vertical) y el punto E tiene cota cero, debemos considerar las propiedades métricas del poliedro. En un octaedro regular de diagonal d, todas las diagonales son iguales y perpendiculares entre sí. El cuadrado horizontal ABCD se sitúa en un plano de cota media respecto a la diagonal vertical.
Determinamos primero la longitud de la diagonal d midiendo la distancia entre los vértices opuestos del cuadrado en la proyección horizontal (ya que el cuadrado es paralelo al plano horizontal). El centro M del cuadrado ABCD es el punto medio de la diagonal vertical EF.
En la proyección vertical, los puntos A', B', C' y D' se encontrarán sobre una línea de tierra auxiliar (o paralela a la LT) a una altura d/2. El punto E' estará en la línea de tierra y F' a una cota igual a la diagonal d sobre la misma perpendicular.Para determinar la proyección vertical de la recta R, utilizamos la condición de que forma 30º con el plano horizontal. La traza horizontal H tiene su proyección vertical h' sobre la línea de tierra. Aplicamos el concepto de diferencia de cotas mediante un triángulo de rebatimiento sobre la proyección horizontal r.
Donde d_h es la distancia horizontal desde la traza H hasta un punto P cualquiera de la recta, y Δz es su cota. Trazando una línea a 30º desde r pasando por h, obtenemos la magnitud de la cota para cualquier alejamiento. Llevamos esa cota a la proyección vertical para obtener r'.Finalmente, para representar la recta S paralela a R que pasa por el punto medio M de la diagonal EF, aplicamos el paralelismo en proyecciones diédricas: las proyecciones de dos rectas paralelas son paralelas entre sí.
Hacemos pasar la proyección horizontal s por el punto m (intersección de las diagonales del cuadrado ABCD) y la proyección vertical s' por el punto m' (situado a cota d/2 sobre la proyección de la diagonal EF). El resultado final es una recta S con la misma inclinación que R pasando por el centro geométrico del octaedro.Resultado final: El octaedro queda definido por sus seis vértices con cotas z_E = 0, z_{ABCD} = d/2 y z_F = d. La recta R' se determina por su ángulo de 30^\circ y la recta S es la traslación de R al punto M(m, m').